대현동 고등수학과외

조건부확률은 조건이 붙었다는 사실보다, 그 조건 뒤에 남겨야 할 대상을 정확히 정하는 일이 중요하다. 특히 조건의 방향을 바꾸면 언제나 같은 값이 나온다고 생각하면 안 된다. 어떤 사건이 일어난 뒤 가능한 결과가 달라지므로, 분모와 분자를 다시 정해야 한다. 다만 이번 주사위 문제에서는 방향을 바꾼 계산도 우연히 같은 값이 나오므로, 결과가 같다는 사실과 풀이 원리가 같다는 판단을 구분해야 한다.

주어진 조건 뒤에 남는 눈부터 표시하기

공정한 주사위에서 4 이상인 눈이 나왔다고 하자. 이때 조건 이후 가능한 표본은 {4, 5, 6}이다. 그중 짝수인 결과는 {4, 6}이므로, 조건부확률은 2/3이다. 처음부터 짝수의 확률이 1/2라고 쓰면 조건이 주어진 뒤에도 전체 결과를 {1, 2, 3, 4, 5, 6}으로 둔 셈이 된다. 이렇게 답했다면 학생에게 “조건 이후 가능한 눈은 {2, 4, 6}인가, {4, 5, 6}인가?”라고 묻고, 해당하는 눈을 직접 둘러 표시하게 한다. 이 한 번의 오답만으로 개념을 확정하지 않고, 조건의 방향을 바꾼 것인지 분모를 바꾸지 못한 것인지 나누어 확인한다.

P(B|A)는 A가 일어난 경우만 남긴 뒤 그 안에서 B도 일어난 비율이다. 이는 시간적 순서나 원인과 결과를 뜻하는 표현이 아니다. 따라서 P(B|A)는 P(A|B)와 일반적으로 다르며, P(A)>0일 때 정의된다. 이번 계산은 (2/6)/(3/6)=2/3으로도 확인할 수 있다. 학생은 분모에 조건 사건의 확률을 쓰고, 분자에는 두 사건이 동시에 일어난 확률을 쓰는지 각각 말로 설명해야 한다.

분모와 교집합을 나누어 수정 풀이 쓰기

교사는 정답을 바로 제시하기보다 조건 집합과 원하는 교집합을 두 칸으로 나누어 적게 한다. 조건은 {4, 5, 6}, 조건과 짝수의 교집합은 {4, 6}이다. 학생이 직접 “조건에 해당하는 세 개 중 짝수 두 개”라고 표시하고 2/3을 작성하면, 숫자만 고친 것이 아니라 표본공간을 바꾼 이유까지 드러난다. 이후 확률식 P(짝수|4 이상)=P(짝수이고 4 이상)/P(4 이상)=(2/6)/(3/6)을 적어 집합 표시와 식이 서로 맞는지 대조한다.

반대로 짝수라는 조건이 먼저 주어진다면 가능한 눈은 {2, 4, 6}이고, 그중 4 이상인 눈은 {4, 6}이다. 따라서 P(4 이상|짝수)=2/3이다. 두 방향의 값이 이번에는 같지만, 이것을 조건부확률의 일반적인 성질로 받아들이면 안 된다. 학생이 두 식의 분모가 각각 무엇을 뜻하는지 설명하고, 같은 결과가 나온 이유와 방향 자체가 같아진 것은 아니라는 점을 구분해 적도록 한다.

풀이를 가린 뒤 조건을 바꾸어 다시 적용하기

문제와 필요한 조건만 남기고 앞서 적은 풀이, 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 다음을 시작한다. “공정한 주사위에서 짝수 눈이 나왔다고 한다. 그 눈이 4 이상일 조건부확률을 구하라.” 학생은 먼저 조건 집합 {2, 4, 6}만 남긴 뒤, 그중 {4, 6} 두 개를 찾아 2/3을 쓴다. 이어 P(짝수이고 4 이상)/P(짝수)=(2/6)/(3/6)=2/3으로 검산한다. 앞 문제의 문장 표현만 바꾼 것이 아니라, 주어진 정보와 구하는 사건의 방향이 바뀌었으므로 표본공간을 새로 만든 것이다.

마지막에는 교사가 제시한 첫 단계를 지우고, 학생이 “왜 이 집합이 분모인지”와 “어떤 두 사건의 교집합인지”를 직접 작성하게 한다. 표를 사용할 때 분모를 혼동하면 조건에 해당하는 행이나 집합만 둘러 표시하고, 그 안에서 구하는 사건에 해당하는 결과를 다시 표시한다. 다음 점검에서는 조건의 방향이 바뀌어도 남겨야 할 결과와 식을 스스로 연결하는지 확인한다.