송천동 고등수학과외

모든 실수 r에서 수렴한다는 결론을 바로 믿어도 될까

급수와 등비급수를 공부할 때는 답의 모양보다 먼저 주어진 조건을 읽어야 한다. 다음 문제를 보자. 실수 r에 대해 Σ(n=1부터 ∞까지) 0·rⁿ의 수렴 여부와 합을 구하는 문제다. 이렇게 답했다면 어떨까. “등비급수이므로 |r|≥1이면 반드시 발산한다.” 등비급수의 수렴 조건을 기억하고 있다는 점은 보이지만, 이 식에서는 첫 항에 해당하는 계수가 0이라는 사실을 빠뜨렸다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 오답을 곧바로 개념 부족으로 단정하지 않고, 어떤 조건을 읽지 않았는지부터 확인한다.

일반항의 극한과 부분합의 극한을 구분해 확인하기

먼저 학생에게 모든 항이 정말 0인지 묻는다. 그런 다음 n=1, 2, 3처럼 몇 개의 항을 직접 써 보고, 각 항 옆에 0이라는 값을 표시하게 한다. 급수의 합은 일반항 하나의 극한이 아니라 부분합 Sₙ의 극한으로 정의된다. 따라서 Sₙ=0·r¹+0·r²+⋯+0·rⁿ을 직접 적으면, 유한한 n에서 항상 Sₙ=0임을 확인할 수 있다. 여기서 다음 식과 결론은 학생이 완성해야 한다. 모든 실수 r에서 부분합의 값이 같다면, 공비의 크기를 따로 제한해야 하는지 다시 판단할 수 있다.

일반적인 등비급수의 합 a/(1−r)과 수렴 조건 |r|<1은 첫 항 a가 0이 아닌 경우에 기계적으로 적용하는 공식이다. 이 문제의 식에 그 조건을 그대로 옮기면 실제 주어진 식과 다른 대상을 판단하게 된다. r=2를 대입해도 각 항과 부분합은 여전히 0이고, r=−3을 대입해도 결과는 달라지지 않는다. 이런 수치 대입은 결론 자체를 대신하는 것이 아니라, 공비와 무관하게 부분합이 0이라는 사실을 부분적으로 확인하는 데 사용한다.

고친 풀이를 조건이 바뀐 문제와 대조하기

학생이 직접 고친 풀이는 다음과 같다. “모든 실수 r에 대하여 각 항이 0이므로 Sₙ=0이다. 따라서 Sₙ의 극한도 0이고, 급수는 모든 실수 r에서 수렴하며 합은 0이다.” 이 결론은 첫 항이 0인 예외를 반영한 것이다. 이후에는 문제와 조건만 남겨 두고 풀이와 답을 가린 상태에서 다시 시작한다. 먼저 Σ(n=1부터 ∞까지) 3(−1/2)^(n−1)의 합을 구한다. 이번에는 첫 항이 3이므로 등비급수 공식을 적용하기 전에 |−1/2|<1을 확인해야 한다. 부분합은 2[1−(−1/2)ⁿ]이고, 그 극한은 2이다. 즉 합은 3/(1+1/2)=2가 된다. 앞 문제와 표현만 달라진 것이 아니라 첫 항이라는 실제 조건이 바뀌었으므로 판단도 달라진다. 다음 풀이에서는 공식값을 먼저 적지 말고, 부분합의 일반식과 공비의 범위를 먼저 표시하게 한다. 그렇게 해야 0인 첫 항의 예외와 일반적인 등비급수 조건을 구별하면서, 고친 이유까지 스스로 설명할 수 있다.