여의동 고등수학과외

θ=2π/3에서 먼저 표시할 조건

삼각함수 문제에서 식에 숫자를 대입하기 전에 각의 단위와 동경의 위치를 확인해야 한다. 예를 들어 θ=2π/3일 때 sinθ와 cosθ를 구하라는 문제에서 조건을 표시하지 않고 “둘 다 양수이므로 sinθ=√3/2, cosθ=1/2”라고 답했다면, 값 자체를 외운 뒤 모든 각에 그대로 적용한 것인지 살펴볼 필요가 있다. 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, 먼저 2π/3이 라디안인지, 180°=π 라디안이라는 변환을 알고 있는지 확인한다. 이어 “단위원에서 제2사분면에 있는 점의 x좌표는 어떤 부호인가?”라고 묻고 학생이 직접 좌표축과 동경을 표시하게 한다.

기준각과 단위원 좌표로 부호 복원하기

2π/3은 π−π/3이므로 기준각은 π/3이다. 단위원에서 각 θ에 대응하는 점의 좌표는 (cosθ, sinθ)이고, 제2사분면에서는 x좌표가 음수, y좌표가 양수다. 따라서 기준각에서 얻는 크기 1/2과 √3/2를 그대로 쓰는 것이 아니라 좌표의 위치에 맞춰 부호를 붙여야 한다. 교사는 π/3의 기준각, 제2사분면의 동경, 좌표 부호 (−,+)를 한 화면이나 종이에 나란히 표시하고, 학생이 각 단계의 중간 결과를 직접 확인하도록 한다. 최종 판단은 교사가 대신 말하기보다 학생이 “제2사분면에서는 코사인이 음수이고 사인은 양수이므로…”처럼 문장으로 쓰게 한다. 그러면 수정 풀이는 sinθ=√3/2, cosθ=−1/2가 된다. 두 값의 제곱합은 3/4+1/4=1이므로 단위원 조건과도 맞고, 제2사분면의 부호와도 일치한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이런 식으로 숫자와 부호를 분리해 확인하면 단순 암기에서 벗어나 조건을 근거로 답을 결정할 수 있다.

표현이 바뀌어도 조건을 다시 읽는 적용

같은 원리를 다시 사용할 때는 문제의 표현만 달라진 것인지, 실제 조건이 바뀐 것인지 구분해야 한다. 풀이와 정답을 가린 상태에서 문제와 필요한 단위원 그림만 남겨 두고, θ=7π/6일 때 tanθ를 구하는 문제를 시작한다. 이번에는 제3사분면이므로 sinθ와 cosθ가 모두 음수라는 조건을 먼저 표시한다. 기준각이 π/6이므로 sinθ=−1/2, cosθ=−√3/2를 나란히 둔 뒤 tanθ=sinθ/cosθ를 계산하면 (−1/2)/(−√3/2)=1/√3=√3/3이다. 분자와 분모가 모두 음수라 탄젠트가 양수이고, 탄젠트의 주기가 π이므로 π/6에서의 값과 같다는 점도 대조할 수 있다. 마지막에는 첫 오답의 결론 부분을 비워 두고 학생이 “각의 단위를 확인하고 동경의 사분면을 표시한 뒤 부호를 정했다”는 이유와 함께 바른 결론을 채우게 한다. 다음 문제에서도 각의 숫자만 처리하지 않고 라디안 표시와 사분면을 먼저 그리는지 확인하면, 조건이 바뀐 문제에도 풀이를 독립적으로 재적용할 수 있다.