전주혁신도시 고등수학과외

제곱의 역방향을 다루던 중 조건 하나가 달라지자 결론이 바뀌는 장면을 살펴본다. 처음 문제의 허용 범위는 모든 실수이고, 뒤의 문제는 x≥0인 실수로 제한된다. 두 범위를 나란히 놓고 보면 식의 모양보다 명제의 방향과 정의된 범위가 판단을 좌우한다는 점을 확인할 수 있다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 답만 고르는 대신, 각 방향의 함의가 실제로 성립하는지 학생이 직접 표시하게 한다.

모든 실수에서 제곱식의 역방향을 확인하기

실수 x에 대해 p를 x=2, q를 x²=4라고 하자. 질문은 p가 q이기 위한 어떤 조건인지 묻는다. 이렇게 답했다면 어떨까. “x²=4에서 x=2이므로 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.” 이 풀이의 마지막 판단은 맞지 않는다. 먼저 p이면 q인지 살펴보면, x=2를 x²에 대입하여 4가 되므로 p→q는 모든 허용 범위에서 참이다. 따라서 p는 q의 충분조건이다.

반대 방향 q→p는 별도로 확인해야 한다. q를 풀면 x=2 또는 x=−2이다. 이때 x=−2는 x²=4를 만족하지만 x=2는 만족하지 않는다. 즉 q는 참이고 p는 거짓인 대상이 실제로 존재하므로 q→p는 거짓이다. 원의 표준형처럼 제곱된 식을 볼 때도 제곱의 결과만 보고 한 근을 지워서는 안 된다. 몇 번의 수치 대입은 가능한 값을 찾는 데는 도움이 되지만, 전체 실수에서의 함의를 증명하지는 못한다.

오답의 원인을 질문으로 나누어 확인하기

이 한 번의 오답만으로 학생이 명제의 방향을 항상 바꾼다고 단정하지 않는다. 먼저 “x=−2는 q를 만족하면서 p도 만족하는가?”라고 묻고, 학생이 q의 조건과 p의 결론을 각각 표시하게 한다. 이어 p→q와 q→p를 화살표로 따로 적게 하면 어느 방향을 생략했는지 확인할 수 있다. 만약 전칭명제나 존재명제의 부정과 혼동했다면, “조건을 만족하는 모든 대상이 결론을 만족하지 않는다는 뜻인가, 아니면 조건은 만족하지만 결론을 만족하지 않는 대상 하나가 있다는 뜻인가?”를 구분해 보게 한다.

교사는 반례 −2를 바로 알려 주기보다 학생이 q의 모든 해를 직접 적고, 각 해가 p를 만족하는지 대조하게 한다. 그 뒤 중간 결과를 함께 확인하되 최종 문장은 학생이 완성한다. 마지막 줄을 비워 두고 “p는 q의 ______조건이지만, ______조건은 아니다”와 그 이유를 쓰게 하면 계산과 명제 판단이 분리되지 않는다.

범위를 제한한 뒤 같은 방법으로 다시 판단하기

이번에는 문제와 조건만 남긴다. 풀이와 정답은 가린 상태에서, x≥0인 실수에서 p를 x=2, q를 x²=4로 둘 때 p와 q의 관계를 판단하게 한다. 학생은 먼저 바뀐 범위 x≥0을 표시하고 q의 해를 구한다. 제곱식의 후보는 여전히 2와 −2이지만, 전체 범위가 x≥0이므로 −2는 허용되지 않는다. 따라서 q이면 x=2이므로 p가 성립하고, p이면 x²=4이므로 q도 성립한다.

학생이 “필요충분조건”이라고 쓴 뒤에는 두 방향을 문장으로 다시 검산한다. p→q는 x=2의 대입으로 성립하고, q→p는 허용된 범위에서 q의 유일한 값이 2라는 사실로 성립한다. 앞의 문제와 표현만 바꾼 것이 아니라 실제 조건인 허용 범위가 바뀌었음을 확인해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 다음 문제에서도 풀이를 시작하기 전 조건에 밑줄을 긋고, 반례를 찾는다면 반드시 주어진 전체 범위 안에 있는지 먼저 확인하게 한다.