장동 고등수학과외

같은 네 인수의 곱처럼 보여도 선택한 항의 계수를 빠뜨리면 결론이 달라진다. 기본 문제에서는 (x+1)⁴에서 x²의 계수를 구하고, 다음 문제에서는 (2x−1)⁴에서 x²의 계수를 구한다. 두 식 모두 네 인수 중 두 자리에서 첫 항을 고르는 구조는 같지만, 선택한 항이 x에서 2x로 바뀌었으므로 그 계수까지 반영해야 한다. 표현만 바뀐 부분과 실제로 계산 결과를 바꾸는 조건을 나누어 보는 것이 배움노트 고등수학 수업 수업에서 확인할 핵심이다.

기본 문제에서 빠진 선택의 개수 찾기

(x+1)⁴를 네 인수의 곱으로 생각하면 x²을 만들기 위해서는 네 자리 중 두 자리에서 x를 골라야 한다. 이렇게 답해야 하는 문제에 x²·1²만 보고 계수 1이라고 적었다면, 식의 일부 곱만 계산하고 같은 항이 몇 번 나타나는지는 세지 않은 것이다. 다만 이 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않는다. 먼저 “네 인수 중 x를 고를 두 자리는 몇 가지인가?”라고 묻고, 학생이 순서를 구별해야 하는지, 이항 전개에서 선택 횟수와 지수가 어떻게 대응하는지 직접 말하고 표시하게 한다.

학생이 네 자리를 그려 두 곳에 x를 표시하면 선택의 순서는 결과에 영향을 주지 않지만 위치의 조합은 여러 가지임을 확인할 수 있다. 일반항에서 xᵏ에 대응하는 항은 ⁴Cₖxᵏ이므로 k=2를 넣으면 ⁴C₂x²이다. 따라서 ⁴C₂=6이고, x²의 계수는 6이다. 중간 결과를 교사가 대신 결론 내리지 않고, 학생이 “두 자리를 고르는 방법이 6가지이므로 계수는 6이다”라고 문장으로 쓰게 한다.

학생의 수정 풀이와 전개식 대조

학생이 직접 ⁴C₂=6을 계산했다면, 그 값이 단순한 공식 암기가 아닌지 전개식과 대조한다. (x+1)⁴=x⁴+4x³+6x²+4x+1이므로 x² 앞의 수가 6과 일치한다. 이때 x²·1²은 한 가지 배치의 곱처럼 보일 뿐, 네 인수에서 x를 선택하는 모든 경우를 포함한 계수가 아니다. 정의된 이항 전개를 적용할 때에는 선택한 x의 개수가 지수 2와 맞는지, 남은 1의 개수가 2인지 함께 확인해야 한다.

조건을 남긴 재적용으로 계수 변화 확인

이제 문제와 필요한 수치는 그대로 남기고 풀이·정답·유도 표시만 가린다. (2x−1)⁴에서 x²의 계수를 학생이 다시 구한다. 이항계수 ⁴C₂는 네 인수 중 두 자리를 고르는 개수이므로 그대로 6이다. 그러나 선택한 두 항은 2x이고, 남은 두 항은 −1이므로 x²을 만드는 곱은 ⁴C₂·(2x)²·(−1)²이다. 계수만 분리하면 6·4·1=24, 따라서 정답은 24이다. 선택된 두 2x의 곱이 4x²이고 남은 −1의 곱은 1이므로 부호도 양수다.

이 재적용은 같은 풀이를 숫자만 바꿔 보는 활동과 다르다. 이항계수는 두 문제에서 유지되지만 선택한 항의 계수 2가 새 조건으로 들어와 결과를 바꾼다. 학생이 먼저 “두 자리를 고르는 방법은 6가지”라고 답한 뒤, 선택한 항의 수와 남은 항의 수를 나누어 써서 계산을 완성하는지 확인한다. 지수나 개수가 다시 헷갈리면 두 선택 항과 두 잔여 항을 각각 표시하고, 전개식의 x²항과 최종적으로 대조한다.