우아동 고등수학과외

겹치지 않는 사건에서는 교집합이 0이 된다

배반사건의 합집합은 먼저 경계값을 확인하면 개념이 분명해진다. 어떤 사건 A와 B가 전혀 겹치지 않는다면 A∩B는 공집합이고, P(A∪B)=P(A)+P(B)이다. 반대로 두 사건이 같은 결과를 함께 포함한다면 그 결과를 두 번 센 만큼 교집합의 확률을 한 번 빼야 한다. 따라서 “합집합에서는 항상 곱을 뺀다”라고 외우기보다, 실제로 겹치는 결과가 있는지부터 표시해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서도 계산 전에 표본공간과 사건의 원소를 같은 기준으로 적게 하면 이 차이를 확인하기 쉽다.

주사위 사건을 목록으로 확인하며 오답을 구분하기

공정한 주사위에서 A={1,2}, B={5,6}일 때 표본공간은 {1,2,3,4,5,6}이고 각 근원사건의 가능성은 같다. A와 B의 원소는 서로 겹치지 않으므로 A∩B=∅, P(A∩B)=0이다. 그런데 이렇게 답했다면, “항상 곱을 빼야 한다”며 1/3+1/3−1/9=5/9를 계산한 셈이다. 이 식이 실제로 뜻하는 값은 두 사건의 확률을 더한 뒤 교집합의 확률을 1/9로 가정한 결과다. 하지만 주어진 사건에는 공통 원소가 없으므로 1/9는 이 문제의 교집합 확률이 아니다. 학생은 먼저 A와 B를 목록으로 쓰고 공통 원소가 있는지 직접 동그라미로 표시한다. 이어 결과들의 가능성이 같은지, 원하는 원소와 전체 원소를 같은 단위로 세었는지 확인한다. 두 사건의 교집합 확률을 곱으로 계산하려면 독립이라는 조건이 필요하므로, 그 조건이 주어졌는지도 따로 표시한다. 조건이 없는데 독립을 임의로 가정해서는 안 된다.

수정 풀이와 조건을 바꾼 재적용

교사가 비교할 식을 제시한 뒤에도 계산 결과와 그 식이 성립하는 조건은 학생이 구분해 적는다. 이 문제에서 수정 풀이는 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=1/3+1/3−0=2/3이다. 합집합의 원소 {1,2,5,6} 네 개를 직접 세어 4/6=2/3인지 검산하면 식과 목록이 일치한다. 다음에는 표현만 바꾸지 않고 실제 조건을 바꾼다. 공정한 주사위 하나에서 A=짝수인 눈, B=3의 배수인 눈이라 하자. A={2,4,6}, B={3,6}이므로 A∩B={6}이다. 따라서 P(A∪B)=1/2+1/3−1/6=2/3이고, 합집합 {2,3,4,6}을 직접 세어 4/6으로 다시 확인한다. 재적용을 시작할 때는 문제와 조건, 표본공간 또는 필요한 목록, 검산 방법만 남기고 풀이와 정답, 교집합을 유도하는 표시를 가린다. 학생이 배반인지 겹치는 사건인지 먼저 판단한 뒤 식을 구성하고, 계산 결과를 목록 검산과 대조하는지 살핀다. 가능성의 단위를 섞는다면 모든 결과를 순서쌍이나 목록으로 먼저 통일해 다음 풀이에서도 같은 오류가 반복되지 않게 한다.