만성동 고등수학과외

“x=1 이하에서 원 로그가 정의되는가?”

로그함수와 로그방정식·부등식을 다룰 때는 계산 방향을 정하기 전에 진수가 실제로 허용되는지부터 확인해야 한다. 수업에서는 실수 x에 대해 log₂(x−1)≤1을 풀어 보며 “x=1 이하에서 원 로그가 정의되는가?”라고 짧게 묻는다. 학생이 x=1에서는 진수가 0이고, x<1에서는 진수가 음수가 되어 실수 로그가 정의되지 않는다고 답했다면 그 근거를 직접 식 옆에 적게 한다. 이 질문에 바로 답하지 못했다면 로그 법칙 자체보다 개별 진수의 조건을 먼저 쓰는 습관이 필요한지 확인한다.

오답 식과 정의 조건을 나란히 대조하기

이렇게 답했다면 학생은 x−1≤2에서 x≤3만 얻었을 수 있다. 밑 2는 1보다 크므로 로그의 증가성에 따라 log₂(x−1)≤1을 x−1≤2로 바꾸는 비교는 맞다. 그러나 이 식만으로는 원래 로그가 정의된다는 사실이 보장되지 않는다. 교사는 x−1의 값이 양수여야 한다는 기준을 먼저 제시하고, 학생에게 0<x−1과 x−1≤2를 각각 계산해 보게 한다. 두 조건을 합치면 1<x≤3이 된다.

오답 하나만 보고 원인을 단정하지 않도록, 학생은 처음 쓴 식과 답을 다시 대조한다. x=1을 후보로 넣었을 때 진수가 0이 되는지, x=0처럼 범위 밖의 값을 넣었을 때 음수가 되는지 직접 표시한다. 또 밑이 1보다 작은 경우에도 같은 방향으로 비교했을지 확인 질문을 던진다. 로그 법칙은 알고 있지만 진수의 양수 조건을 빠뜨린 것인지, 밑의 증가·감소 방향을 구분하지 못한 것인지에 따라 다음 설명을 달리할 수 있다.

학생이 수정 풀이를 쓰고 끝점까지 검산하기

기준을 확인한 뒤에는 교사가 답을 대신 골라 주지 않고 학생이 이어서 계산한다. 학생은 먼저 0<x−1을 적어 x>1을 남긴 다음, 증가하는 밑 2의 비교에서 x−1≤2를 얻는다. 두 범위를 겹쳐 1<x≤3이라고 수정해 쓴다. 정답은 (1,3]이다. 끝점 검산도 직접 한다. x=3이면 log₂(2)=1이므로 등호가 성립해 포함되고, x=1이면 진수가 0이므로 로그가 정의되지 않아 제외된다. 이처럼 수치 대입은 구간의 끝점과 정의 여부를 확인하는 부분 검산으로 사용하고, 증가성은 밑 2가 1보다 크다는 일반적인 성질에 근거해 설명한다.

다음 점검에서는 같은 표현을 반복하지 않고 밑의 조건을 실제로 바꾼다. 문제 자료만 남기고 풀이와 정답은 가린 상태에서 실수 x에 대해 log_(1/2)(x−1)>1을 풀게 한다. 학생은 먼저 x>1을 적고, 밑 1/2가 0과 1 사이이므로 비교 방향이 뒤집힌다는 근거를 써야 한다. 이어 0<x−1<1/2을 지수식 조건으로 바꾸어 1<x<3/2를 얻는지 살핀다. x=3/2는 로그값이 1이라 엄격한 부등식에서 제외되고, x=5/4에서는 로그값이 2가 되어 성립한다는 대조까지 스스로 남기게 한다. 이후에도 문제·조건·필수 자료만 보이는 독립 재적용에서 진수의 양수 범위, 밑에 따른 방향, 등호 포함 여부를 차례로 적는지 확인한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 정답보다 그 근거를 다시 적고 조정하는 과정을 다음 학습의 기준으로 삼는다.