연제구 고등수학과외

다항식의 전개에서는 계산 결과만 맞추는 것보다 각 항이 어디에서 왔는지 남기는 일이 중요하다. 특히 서로 다른 차수의 항을 같은 종류처럼 더하면 전개와 동류항 정리가 한꺼번에 흔들릴 수 있다. 다음은 배움노트 고등수학 수업 수업에서 사용할 수 있는 예시다.

예시 오답과 검산 결과를 나란히 보기

실수 x에 대해 (x+1)(x²−x+1)을 전개한다고 하자. 분배법칙에 따라 x를 곱한 항과 1을 곱한 항을 각각 적으면 x³−x²+x+x²−x+1이 된다. 이때 x²와 x², x와 −x는 서로 상쇄되지만, x³은 x²와 차수가 다르므로 함께 더할 수 없다. 그런데 이렇게 답했다면, x³−x²+x+x²−x+1에서 x³과 x²까지 합쳐 2x³+1이라고 정리한 셈이다. 이 결과는 원래 전개식과 다르다.

바로 풀이를 고치기 전에 “x²와 x³의 계수를 더해도 같은 항이 되는가?”라고 묻는다. 학생이 차수가 달라도 계수만 더하면 된다고 생각했다면 동류항의 기준을 모르는 경우일 수 있다. 반대로 기준은 알고 있으나 항을 옮기는 과정에서 특정 항을 빠뜨렸을 가능성도 있다. 따라서 학생이 x²와 x³의 차수를 직접 표시하고, 각 항이 어느 곱에서 나왔는지 대조하게 한다.

항의 출처를 남기며 수정 풀이 완성하기

교사는 전체 식을 대신 정리하지 않고, 항을 곱한 출처를 남긴 표기를 보여 준다. x를 곱한 결과는 x³−x²+x이고, 1을 곱한 결과는 x²−x+1이다. 그런 다음 같은 차수끼리만 괄호를 묶어 x³+(−x²+x²)+(x−x)+1로 배열한다. 또는 계수 비교가 잘 보이도록 x³+(−1+1)x²+(1−1)x+1처럼 쓸 수 있다. 여기서 멈추고 학생이 조건을 반영한 다음 줄을 직접 잇게 한다.

학생의 수정 풀이는 x³+(−1+1)x²+(1−1)x+1=x³+1이다. 따라서 정답은 x³+1이다. 검산할 때는 결과를 다시 인수분해하여 x³+1=(x+1)(x²−x+1)임을 확인한다. 전개식과 인수분해식이 일치하므로 부호와 각 항의 차수가 모두 맞았는지 확인할 수 있다. 특정 수를 대입하는 것은 일부 값을 확인하는 방법일 뿐이며, 이 등식 전체의 근거는 분배법칙과 동류항 정리에 있다.

표현이 달라져도 같은 기준으로 다시 확인하기

풀이와 정답을 가린 뒤, 문제와 필요한 조건만 남겨 독립적으로 시작한다. 이번에는 실수 x에 대해 (3x²−2x+1)−(x²−5x+4)를 정리한다. 먼저 괄호 앞의 빼기가 안쪽 모든 항에 분배된다는 조건을 표시한다. −(x²−5x+4)=−x²+5x−4이므로 전체 식은 3x²−2x+1−x²+5x−4가 된다. 이후 한 차수의 항만 모아 (3−1)x²+(−2+5)x+(1−4)=2x²+3x−3을 얻는다.

정답은 2x²+3x−3이며, 결과에 빼었던 x²−5x+4를 더했을 때 3x²−2x+1이 복원되는지 확인한다. 앞의 문제와 이번 문제는 표현은 다르지만, 같은 차수끼리만 모으고 부호를 정확히 분배한다는 기준은 같다. 다음에는 경계값이나 제외 조건이 있는 식이라면 먼저 그 부분에 표시하고, 무엇이 달라졌는지 한 문장으로 쓴다. 전개와 계수 비교가 섞이면 한 차수의 항만 모으는 연습으로 돌아가 계산 순서를 다시 세운다.