금정구 고등수학과외

등비수열 문제에서 답의 모양이 비슷해도 조건 하나를 놓치면 결론이 달라진다. 특히 등비수열과 합을 함께 다룰 때 공비의 부호 조건이 추가되면, 먼저 계산한 후보를 그대로 답에 넣을 수 없다. 다음은 양수인 항으로 이루어진 등비수열에서 첫째항이 2이고 셋째항이 8일 때 공비와 둘째항을 구하는 예시다. 처음에는 떨어진 두 항으로 공비의 제곱을 구한 뒤, 모든 후보가 주어진 조건을 만족하는지 확인해야 한다.

두 항으로 구한 후보와 빠진 조건 찾기

일반항은 aₙ=a₁rⁿ⁻¹이므로 a₃=2r²=8이다. 따라서 r²=4이고, 실수 공비 후보는 r=2 또는 r=−2로 남는다. 여기서 이렇게 답했다면 둘째항을 a₂=a₁r에 대입하여 r=2일 때 a₂=4, r=−2일 때 a₂=−4라고 계산했을 것이다. 이 과정에서 r=±2, a₂=±4를 모두 답에 넣었다면 계산 자체의 일부는 맞지만, ‘모든 항이 양수’라는 조건을 아직 반영하지 않은 상태다. 공비와 증가량을 혼동한 것인지, 또는 음의 공비 후보를 조건 없이 포함한 것인지 구분하려면 “모든 항이 양수라는 추가 조건이 어느 후보를 제외하는가?”라고 묻고 각 후보의 항을 직접 표시하게 한다.

부호를 항에 대입해 조건을 판별하는 풀이

교사는 공비의 크기만 보지 않고 항 번호와 부호를 함께 읽도록 돕는다. r=−2이면 a₂=2×(−2)=−4이므로 양수인 항으로 이루어진 수열이라는 조건에 맞지 않는다. 반대로 r=2이면 a₂=4이고 일반항 aₙ=2·2ⁿ⁻¹은 모든 n에 대해 양수다. 따라서 학생은 “r=−2이면 둘째항이 음수이므로 제외되고, r=2이면 a₂=4”라는 근거를 직접 완성한다. 이때 수치 대입은 후보를 걸러내는 부분 검산이며, 양의 첫 항과 양의 공비일 때 모든 항이 양수라는 결론은 일반항의 부호로 확인한다. 합 공식을 사용할 때에는 분모에 r−1이 나타나는지 살피고 r=1인 경우를 먼저 따로 확인해야 하며, 이번 문제의 핵심은 합 계산보다 공비 후보와 추가 조건의 대조에 있다.

조건을 바꾼 문제로 다시 대조하기

고친 풀이가 단지 표현을 외운 결과인지 확인하려면 문제의 조건을 독립적으로 바꿔 다시 시작한다. 문제를 “실수 등비수열 a₁=2, a₃=8에서 가능한 실수 공비와 a₂를 모두 구하라”로 두면, 이번에는 모든 항이 양수라는 조건이 없으므로 2r²=8에서 두 부호를 모두 남겨야 한다. r=2이면 a₂=4, r=−2이면 a₂=−4이고, 정답은 (r,a₂)=(2,4), (−2,−4)이다. 실제로 2,4,8과 2,−4,8을 각각 써 보면 두 수열 모두 첫째항과 셋째항을 만족한다. 처음 문제와 표현만 달라진 것이 아니라 양수 조건이 실제로 빠졌음을 확인하는 것이다. 마지막에는 문제와 조건만 남기고 풀이·정답·유도 표시를 가린 채, 공비의 제곱을 구한 뒤 부호 조건을 판단하는 식과 이유를 직접 작성하게 한다. 부호가 헷갈리면 연속한 네 항을 써서 양의 공비와 음의 공비에서 부호가 어떻게 이어지는지 표시하고, 바뀐 조건에서도 두 후보를 빠짐없이 대조하는지 점검한다.