사상구 고등수학과외

“BA에서 B의 열 수 1과 A의 행 수 2가 같은가?”에서 멈춘 장면

행렬의 곱을 연습하던 중 다음과 같은 교육용 장면을 생각해 볼 수 있다. A=[[1,2],[0,1]], B=[[3],[4]]일 때 BA가 정의되는지 판단하는 문제에서, 학생이 “AB가 되므로 BA도 가능하다”고 답했다. 이때 곧바로 행렬 연산을 외웠는지 단정하지 않고, 곱의 순서와 행·열의 위치를 어떻게 읽는지 확인할 필요가 있다. 먼저 BA에서 앞에 오는 B는 2×1 행렬이고, 뒤에 오는 A는 2×2 행렬이다. 따라서 곱의 크기는 (2×1)(2×2)로 표시된다.

확인을 위해 “BA에서 B의 열 수 1과 A의 행 수 2가 같은가?”라고 묻는다. 학생이 두 수가 다르다고 말하면서도 AB가 가능하다는 사실을 근거로 BA도 가능하다고 하면, 행렬 곱을 순서를 바꾸어도 같은 연산으로 이해하는지 다시 살핀다. 또 각 성분을 단순히 같은 위치끼리 곱하는 방식으로 생각하는지도 확인한다. 행렬 곱에서는 앞 행렬의 열과 뒤 행렬의 행이 대응해야 하며, 이 두 길이가 같아야 한 성분을 만들기 위한 곱의 합을 구성할 수 있다.

곱의 순서를 식으로 표시하고 정의 여부를 대조하기

교사는 성분을 바로 계산하기보다 B와 A의 크기를 식 위에 표시하게 한다. BA는 (2×1)(2×2)이므로 가운데의 1과 2가 다르다. 앞 행렬 B의 한 행을 선택해도 원소가 하나뿐인데, 뒤 행렬 A에서 대응해 가져올 행의 길이는 두 개이므로 곱셈과 덧셈을 짝지어 한 성분을 만들 수 없다. 따라서 BA는 정의되지 않는다. 이는 어떤 값이 0이 되거나 계산 결과가 특별해지는 문제가 아니라, 애초에 행렬 곱의 성립 조건을 만족하지 못하는 경우다.

학생이 직접 수정할 때는 “안쪽 크기 1과 2가 달라 BA는 정의되지 않는다”고 먼저 적고, 각 행렬의 크기를 다시 대조한다. 정답은 BA가 정의되지 않음이다. 반면 AB는 (2×2)(2×1)이므로 가운데의 2가 일치한다. 이때는 A의 첫째 행과 B의 열을 대응해 1·3+2·4=11을 얻고, A의 둘째 행과 B의 열을 대응해 0·3+1·4=4를 얻는다.

같은 기준을 조건이 바뀐 곱에 독립적으로 적용하기

다음 확인에서는 이전 풀이와 정답을 보여 주지 않은 채 문제와 조건만 남긴다. A=[[1,2],[0,1]], B=[[3],[4]]일 때 AB의 크기와 값을 구하는 상황에서, 학생이 먼저 (2×2)(2×1)을 세우게 한다. 가운데 크기 2가 맞으므로 결과의 바깥 크기는 2×1이다. 첫째 성분은 11, 둘째 성분은 4이므로 결과는 [[11],[4]]인 2×1 행렬이다. 결과에 성분이 두 개 있는지, 각 성분이 A의 한 행과 B의 유일한 열을 대응해 나온 것인지 검산한다.

이 과정은 단순히 BA의 답을 기억하는 것과 다르다. 같은 행렬이라도 곱의 순서를 바꾸면 정의 여부와 결과의 크기가 달라진다. 표현만 바뀐 문제인지, 실제로 조건이 바뀐 문제인지 구별하려면 매번 안쪽 크기를 먼저 표시해야 한다. 곱의 위치가 흔들리면 전체 계산을 서두르지 말고 한 성분을 만들 행과 열만 선택해 보게 한다. 다음 점검에서는 필요한 식을 학생이 처음부터 세우고, 각 크기와 결과의 모양을 스스로 대조하게 한다.