해운대구 고등수학과외

접선 조건 역산은 말로는 “중심에서 직선까지의 거리가 반지름과 같다”라고 설명하면서도, 식에 적용할 때 부호와 절댓값을 빠뜨리기 쉽다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답을 먼저 고르는 대신, 주어진 원과 직선의 조건을 한 줄씩 대조하며 왜 그런 식이 필요한지 확인한다. 대표적으로 실수 c에 대해 직선 x+y=c가 원 x²+y²=8에 접하도록 하는 c를 구하는 상황을 생각해 보자. 원의 중심은 (0,0), 반지름은 √8이고, 중심에서 직선까지의 거리는 |c|/√2이다.

c=4만 남겼다면 부호와 조건을 다시 묻기

이렇게 답했다면 c/√2=√8에서 c=4만 얻은 셈이다. 계산 과정의 수치만 보면 자연스러워 보이지만, 점과 직선 사이의 거리는 음수가 될 수 없으므로 직선의 상수 c 자체가 거리처럼 사용될 수는 없다. 먼저 “점과 직선의 거리에 c가 음수인 경우도 들어가는가?”라고 확인하고, 처음 쓴 식과 실제 거리식을 나란히 비교해야 한다. 또 직선 하나를 접점 하나와 혼동한 것은 아닌지, 거리의 절댓값과 반지름의 비교를 빠뜨린 것은 아닌지 구분해 본다. 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, 학생이 부호에 표시하고 식의 각 항이 무엇을 뜻하는지 직접 말하게 하는 과정이 필요하다.

중심과 직선의 거리를 기준으로 수정하기

중심에서 직선까지의 거리가 반지름보다 작으면 두 교점, 같으면 접점 하나, 크면 교점이 없다. 따라서 접하는 경우에는 |c|/√2=√8을 세워야 한다. 양변에 √2를 곱하면 |c|=4이고, 절댓값 식의 해는 c=±4이다. 여기서 교사는 기준과 비교할 식을 보여 주되, 실제 계산과 답의 선택은 학생이 직접 하도록 한다. c=4일 때 직선은 x+y=4이고 (2,2)를 지나며, c=−4일 때는 x+y=−4이고 (−2,−2)를 지난다. 두 점은 각각 원 x²+y²=8에 대입했을 때 8이 되므로 원 위에 있고, 중심에서 직선까지의 거리가 반지름과 같아 접한다.

조건을 남긴 채 다른 문제에 다시 적용하기

설명을 덮은 상태에서 먼저 예시 오답을 스스로 고치게 한 뒤, 문제와 조건만 남겨 풀이를 다시 시작한다. 이번에는 원 x²+y²=5와 직선 x+y=1의 교점 개수를 구한다. 중심과 직선 사이의 거리는 1/√2, 반지름은 √5이므로 거리가 더 작아 두 점에서 만난다. 대입하면 y=1−x이므로 x²+(1−x)²=5, 즉 2x²−2x−4=0이고 x=2,−1을 얻는다. 각각 y를 구하면 교점은 (2,−1), (−1,2)이다. 두 좌표를 원의 식과 직선의 식에 모두 대입해 확인한다. 같은 표현을 바꾼 문제인지, 실제 조건이 달라진 문제인지 구별하면서도 중심과 직선의 거리, 반지름, 세 가지 비교 기준은 유지해야 한다. 접점 수를 추측하지 않고 이 절차를 다시 설명하고 풀이와 정답이 함께 맞을 때 다음 점검으로 넘어간다.