진구 고등수학과외

f(1)=0에서 시작해 오답의 어긋난 지점 찾기

미적분Ⅰ에서 극값과 구간의 최대·최소를 다룰 때는 식을 계산하는 순서뿐 아니라 문제에 주어진 조건의 뜻을 구별해야 한다. 예를 들어 f(x)=x³−ax가 f(1)=0을 만족할 때 a를 구하고 x=1이 극값점인지 판단하라고 하자. 이렇게 답했다면 “f(1)=0이므로 접선도 수평이고 a=3이다”라고 적을 수 있다. 그러나 검산 결과는 이 풀이와 맞지 않는다.

먼저 함숫값 조건을 그대로 대입하면 f(1)=1−a=0이므로 a=1이다. 이 식은 그래프가 x=1에서 x축과 만난다는 뜻이지, 그 점에서 접선의 기울기가 0이라는 뜻은 아니다. 실제로 a=1일 때 f′(x)=3x²−1이고 f′(1)=2이므로 접선은 수평이 아니다. 따라서 a=3을 얻은 과정에는 f(1)=0과 f′(1)=0을 같은 조건으로 본 오류가 들어 있다.

극값 여부와 구간의 끝값을 따로 확인하기

오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, 먼저 확인 질문을 던진다. “x축과 만나는 조건과 극값 조건은 같은가?” 학생은 f(1)=0이 함수의 높이에 관한 조건인지, f′(1)=0이 접선의 기울기에 관한 조건인지 각각 표시해야 한다. 이어서 직접 a를 계산하고, 그 값을 다시 원래 조건에 대입해 성립 여부를 대조한다. 이 과정을 거치면 함숫값 조건만 있는 문제에서 극값 조건을 임의로 추가했는지 확인할 수 있다.

극값은 도함수가 0인지만 보고 결정하지 않는다. 후보점의 양옆에서 도함수의 부호가 바뀌는지 살펴야 한다. a=1인 경우 f′(1)=2≠0이고, 1의 충분히 가까운 양옆에서도 f′(x)>0이므로 함수는 계속 증가한다. 그러므로 x=1은 극값점이 아니다. 반대로 닫힌 구간의 최댓값과 최솟값을 구할 때는 구간 안에서 허용되는 극값 후보와 양 끝점의 함숫값을 모두 비교해야 한다. 도함수가 0이라는 이유만으로 극값이나 구간의 최댓값을 확정할 수 없다.

이때 배움노트 고등수학 수업에서는 비교 자료를 나란히 놓고 학생이 직접 구분해 적도록 한다. f(1)=0은 함숫값 조건, f′(1)=0은 극값의 필요조건 후보, 도함수의 부호 변화는 극값을 확인하는 근거다. 각 식 옆에 “주어진 조건”, “후보를 만드는 식”, “성립을 확인하는 근거”를 표시하면 서로 다른 역할을 섞지 않게 된다.

수정 풀이를 가리고 새 조건에 다시 적용하기

학생이 직접 고친 풀이는 다음과 같다. f(1)=1−a=0에서 a=1을 구한다. 이어 f′(x)=3x²−1이므로 f′(1)=2≠0이다. 따라서 x=1에서는 극값이 없고, 원래 조건 f(1)=0만 만족한다. 계산 결과와 극값 여부를 한 문장으로 합치지 않고, 각각의 성립 여부를 따로 적은 점이 핵심이다.

재적용에서는 문제와 조건, 필요한 함수식만 남기고 앞서의 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 이번에는 f(x)=x³−ax가 x=1에서 극소를 갖는다고 하자. 먼저 극소라면 필요한 조건으로 f′(1)=3−a=0을 세워 a=3을 구한다. 그러나 여기서 멈추지 않고 f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1)을 확인한다.

x=1의 왼쪽에서는 f′(x)<0, 오른쪽에서는 f′(x)>0이므로 도함수의 부호가 음수에서 양수로 바뀐다. 따라서 함수는 감소하다가 증가하고 x=1에서 극소를 갖는다. 이 문제에서는 극소라는 실제 조건이 a=3을 정하게 했고, 부호 변화가 그 결과의 성립을 검산했다. 앞 문제의 f(1)=0과는 조건의 의미도 풀이 순서도 다르다.

마지막 점검에서는 수정 전후 풀이를 섞어 제시하고, 학생이 함숫값 조건만 있는 경우에 맞는 단계를 골라 순서를 복원하게 한다. 이어 극소 조건이 있는 문제까지 풀면서 왜 f(1)=0이 아니라 f′(1)=0을 먼저 세웠는지 설명하게 한다. 도함수가 0인 점과 극값을 혼동한다면 도함수 부호표와 실제 함수값의 높이를 별도로 작성한다. 같은 표현을 바꾼 문제와 조건 자체를 바꾼 문제를 구분해 다시 확인해야 다음 풀이에서도 조건에 맞는 식을 선택할 수 있다.