효자지구 고등수학과외

함수 문제에서 공역의 원소가 모두 사용되어야 한다고 생각하면 판단이 흔들릴 수 있다. 예를 들어 X={1,2}, Y={a,b,c}이고 1→a, 2→a로 대응한다고 하자. 공역 Y에는 b와 c가 남아 있지만, 이 대응은 함수이다. 반대로 1→a, 1→b, 2→a처럼 한 입력에 두 출력이 연결되면 공역의 원소가 모두 사용되더라도 함수가 아니다. 배움노트 고등수학 수업에서는 먼저 이처럼 결과가 달라지는 두 경우를 나란히 놓고, 무엇이 함수의 핵심 조건인지 확인한다.

공역과 치역을 먼저 나누어 표시하기

함수는 정의역의 각 원소에 출력이 정확히 하나씩 정해지는 관계이다. 공역의 모든 원소가 실제 출력으로 등장해야 한다는 조건은 함수의 정의에 포함되지 않는다. 따라서 1과 2가 각각 하나의 출력에 연결되어 있는지부터 살핀다. 두 입력이 같은 a로 가는 것은 허용된다. 이때 공역은 Y={a,b,c}이고, 실제로 나온 출력만 모은 치역은 {a}이다. 공역과 치역을 같은 집합으로 적으면 b와 c가 사용되지 않았다는 사실을 함수가 아니라는 근거로 잘못 해석하게 된다.

이렇게 답했다면 “함수는 공역의 모든 원소 사용을 요구하는가?”라고 되묻는다. 학생은 대응표를 직접 만들어 입력 1의 출력과 입력 2의 출력을 각각 적고, 공역에서 실제로 표시된 원소에만 표시한다. 그 뒤 ‘함수인지’와 ‘치역이 무엇인지’를 서로 다른 문장으로 구분해 쓴다. 계산이나 표시 결과와 함수 성립 여부를 한꺼번에 섞지 않는 것이 중요하다.

한 입력에 출력이 둘인 경우와 비교하기

이제 X={1,2}, Y={a,b}에서 1→a, 1→b, 2→a인 대응을 생각한다. 여기서는 입력 1에 a와 b라는 두 출력이 연결되어 있으므로 함수가 아니다. 이 판단은 사용되지 않은 공역 원소의 수와 무관하다. 학생에게 화살표 수만 세지 말고 입력별 대응표를 다시 작성하게 하면, 입력 1의 행에 출력이 두 개라는 문제가 드러난다. 이어 각 입력의 대응이 존재하는지, 존재한다면 출력이 유일한지를 따로 확인하게 한다.

첫 번째 대응에서는 입력별 출력이 각각 하나이고 치역은 {a}이므로 ‘함수, 치역 {a}’가 정답이다. 두 번째 대응에서는 입력 1의 출력이 유일하지 않으므로 ‘함수 아님’이다. 이 비교를 통해 공역 Y와 치역을 구분하고, 서로 다른 입력이 같은 출력으로 가는 것은 허용되지만 하나의 입력에서 여러 출력으로 갈라지는 것은 허용되지 않는다는 기준을 세운다.

풀이를 가린 상태에서 조건을 다시 적용하기

다시 확인할 때는 문제의 집합 X와 Y, 대응식과 필요한 조건만 남기고 앞서 본 풀이·정답·화살표 유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 먼저 사용되지 않는 공역 원소가 있어도 함수인지 판단하는 식과 이유를 학생이 직접 작성한다. “각 x∈X에 대해 대응하는 y∈Y가 정확히 하나 존재한다”는 기준을 적은 뒤, 실제 출력의 집합을 치역으로 표시하게 한다.

그다음 두 번째 대응처럼 조건 자체가 바뀐 경우에도 같은 절차를 적용한다. 입력 1에 a와 b가 모두 연결된 사실을 대응표로 확인하고, 출력의 유일성이 깨졌다고 적으면 된다. 마지막으로 원래 문제의 답과 대조해 함수 여부, 공역, 치역을 각각 확인한다. 배움노트 고등수학 수업에서 이 단원을 다룰 때도 답만 외우기보다 입력별 대응을 직접 표시하게 하면, 사용되지 않은 공역 원소와 한 입력의 복수 출력이라는 서로 다른 조건을 안정적으로 구별할 수 있다.