중화산동 고등수학과외

수열의 극한을 묻는 문제에서 정답만 맞히는 것보다 중요한 것은 어떤 조건 때문에 그 결론이 성립하는지 설명하는 일이다. 배움노트 고등수학 수업에서는 다음과 같이 근거가 비어 있는 답안을 먼저 살펴본다. “공비가 1보다 작으므로 0에 수렴한다.” 이 문장은 양의 공비만 생각했을 때의 기억을 그대로 적용한 것일 수 있다. 하지만 실제 수열의 항이 어떻게 움직이는지 확인하지 않으면 공비 −1의 경계를 놓치게 된다.

r<1과 |r|<1을 구별하는 확인 질문

주어진 수열은 aₙ=(−1)^(n−1), n≥1이다. 항 번호 n은 양의 정수로 커지므로, 몇 개의 항만 보는 것이 아니라 일반항의 변화를 살펴야 한다. 먼저 첫째항이 1인 등비수열이 0으로 수렴하려면 r<1이면 충분한지, 아니면 |r|<1이어야 하는지 질문한다. 학생이 r<1이라고 답했다면 교사는 곧바로 결론을 고치게 하지 않고, r이 음수일 때 항의 부호와 크기가 어떻게 되는지 직접 적어 보게 한다. 공비의 절댓값이 1보다 작으면 항의 크기가 줄어들지만, |r|=1이면 크기가 줄지 않는다. 특히 r=−1에서는 부호가 번갈아 바뀐다.

홀수 항과 짝수 항을 나누어 극한을 확인하기

교사는 첫 비교까지만 제시한다. a₁=1, a₂=−1, a₃=1, a₄=−1처럼 앞의 항을 적고, 홀수 번호와 짝수 번호의 항을 각각 표시하게 한다. 그다음 남은 계산은 학생이 직접 완성한다. 홀수 항은 a₂ₖ₋₁=1, 짝수 항은 a₂ₖ=−1로 정리된다. 두 부분수열이 서로 다른 고정값으로 가므로 하나의 실수에 가까워진다고 할 수 없다. 따라서 이 수열의 극한은 존재하지 않으며, 결론은 발산이다. 여기서 “항이 −1과 1 사이에 있다”는 사실만으로 수렴을 말할 수 없고, 구간 안에 머무는 것과 한 값으로 가까워지는 것은 다르다는 점도 함께 확인한다.

조건을 바꾼 수열에서 같은 기준 다시 적용하기

이제 문제와 조건만 남긴 상태에서 풀이와 정답을 가린 채 독립적으로 시작한다. aₙ=(−1/2)^(n−1), n≥1의 극한을 구하라는 문제를 제시하고, 학생이 먼저 바뀐 조건인 공비 −1/2를 표시하게 한다. 같은 등비수열의 반복 곱이지만 공비의 절댓값은 1보다 작다. 학생은 |aₙ|=(1/2)^(n−1)임을 직접 적고, 이 값이 0으로 수렴함을 근거로 aₙ→0이라고 정리한다. 양수인 (1/2)^(n−1)과 그 반대값 사이로 항이 좁혀진다는 점도 부분 검산으로 확인할 수 있다. 마지막에는 처음 오답의 결론 칸을 비워 두고 “발산, 홀수 항은 1이고 짝수 항은 −1이기 때문”이라고 학생이 채우게 한다. 몇 항의 소수값만 보고 판단하지 않고, 일반항을 정리하거나 홀수·짝수 번호를 나누어 살피는지 다음 풀이에서도 확인한다.