풍남동 고등수학과외

붙어 있다는 조건과 실제 자리의 구별부터 확인하기

중복순열과 같은 것이 있는 순열을 말로 설명할 때는 “같은 글자는 한 번만 센다”고 답하면서도, 식을 세울 때는 그 기준이 빠지는 경우가 있다. 예를 들어 A,A,A,B 네 글자를 일렬로 놓는 서로 다른 문자열 수를 묻는다면, 먼저 A 세 개가 반드시 붙어 있어야 한다는 조건이 문제에 있는지 확인해야 한다. 그런 조건이 없다면 A들을 한 덩어리로 묶어 2개라고 계산한 답은 문제의 조건을 바꾼 셈이다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답 하나만 보고 원인을 확정하지 않고, “A들이 반드시 붙어 있어야 하는가?”라고 다시 묻고 학생이 처음 쓴 식과 문제의 문장을 직접 대조하게 한다.

이때 반복을 허용하는 선택과 같은 대상을 구별해 세는 경우도 분리해야 한다. 중복순열에서 같은 글자를 여러 번 사용할 수 있다는 것과, 이미 주어진 A 세 개를 서로 다른 A로 구별해 세지 않는 것은 다른 기준이다. 문제의 네 자리는 서로 구별되지만 A끼리는 같은 문자이므로, B가 들어갈 수 있는 네 위치를 먼저 표시하면 기준이 분명해진다. 교사는 자리의 구별, 반복 허용 여부, 같은 대상의 구별 여부를 나누어 보여 주되 실제 계산과 답의 선택은 학생이 하도록 한다.

오답을 작은 경우로 나누어 직접 고치기

이렇게 답했다면 학생은 B의 위치를 첫째, 둘째, 셋째, 넷째 자리로 나누어 표시한다. 각 위치마다 문자열 하나가 정해지므로 BAAA, ABAA, AABA, AAAB 네 개가 나온다. 따라서 정답은 4개이다. 이 확인은 단순히 네 자리를 세는 데서 끝나지 않는다. A 세 개를 서로 다른 A₁, A₂, A₃처럼 구별해 임시로 세면 같은 문자열이 여러 번 반복된다는 점을 확인해야 한다. 반대로 A들이 붙어야 한다고 잘못 읽으면 가능한 배열을 지나치게 줄이게 된다.

검산할 때는 수치 하나를 대입해 결론을 꾸미기보다, 네 위치가 서로 겹치지 않고 모든 경우를 빠짐없이 포함하는지 살핀다. B는 한 번만 있으므로 반드시 네 자리 중 하나에 놓이고, 그 선택이 정해지면 나머지는 모두 A로 채워진다. 이처럼 경우가 서로 겹치지 않으며 전체를 덮는다는 설명이 4라는 답의 근거다. 도식이나 자리를 표시한 흔적을 지우지 않고 남겨 두면, 학생은 자신의 계산이 문제의 조건에서 출발했는지도 함께 확인할 수 있다.

표현이 바뀌어도 같은 기준으로 다시 적용하기

다음에는 문제와 조건, 필요한 자료만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 다시 시작한다. 같은 글자끼리의 교환을 중복으로 세지 않는다는 기준을 유지하면서 A,A,B,B 네 글자를 일렬로 놓는 서로 다른 문자열 수를 구한다. 임시로 A₁,A₂,B₁,B₂를 서로 다른 대상으로 보면 4!으로 세지만, A끼리 바꾼 2!번과 B끼리 바꾼 2!번은 같은 문자열을 반복해서 센다. 따라서 4!/(2!·2!)=6이고, A가 놓일 두 자리를 고르는 4C2=6과도 일치한다. 표현만 달라진 경우에는 같은 기준을 이어 가되, 반복 개수가 달라졌다면 나누어야 할 중복 횟수도 달라지는지 확인한다.

교사의 설명을 덮은 뒤 학생이 처음의 “2개”라는 답을 스스로 고치고, “A들이 반드시 붙어 있어야 하는 조건이 있는가?”에 대한 답과 A,A,B,B의 풀이를 함께 맞히면 다음 점검으로 넘어간다. 공식부터 고르기보다 작은 길이의 문자열을 직접 나열해 어떤 결과가 같은지 비교하는 습관을 유지하면, 이후 반복되는 대상의 개수가 달라져도 같은 판단 기준을 적용할 수 있다.