서신동 고등수학과외

합성함수의 정의역을 구할 때는 식을 계산하는 것과 입력 조건을 확인하는 일을 함께 해야 한다. 예를 들어 f(t)=1/(t−1), g(x)=x²일 때 f(g(x))를 구하라는 문제에서 이렇게 답했다면 어떤 판단이 빠졌는지 살펴볼 수 있다. 먼저 안쪽 함수의 출력 g(x)를 바깥 함수 f의 입력 자리에 넣으면 f(g(x))=1/(x²−1)이다. 그런데 예시 오답처럼 정의역을 x≠1이라고 적었다면, 분모가 0이 되는 값을 끝까지 확인하지 않은 것이다.

x=−1을 넣어 빠진 조건 찾기

오답 하나만으로 함수 적용 순서를 혼동했다고 단정하지 않는다. “x=−1을 넣어도 분모가 0이 되지 않는가?”라고 묻고, 학생이 직접 x²−1을 계산해 표시하게 한다. x=1뿐 아니라 x=−1을 넣어도 x²−1=0이므로 두 값 모두 제외해야 한다. 합성은 안쪽 함수의 출력이 바깥 함수의 입력 조건을 만족하는지 확인하는 과정이다. 따라서 f의 입력 t는 t≠1이어야 하고, 여기에 t=g(x)=x²를 대입해 x²≠1을 세워야 한다. x²≠1에서 x≠−1, 1을 얻으면 식과 정의역을 분리해 적을 수 있다. 역함수의 정의역과 치역을 바꾸는 문제와 혼동했는지도 확인하되, 이 문제의 핵심은 역함수가 아니라 바깥 함수의 금지 입력을 안쪽 함수가 만들 수 있는지에 있다.

학생이 직접 수정한 식과 조건 대조하기

교사는 같은 설명을 반복하기보다 학생이 다음 등식과 부등식을 직접 작성하게 한다. f(g(x))=f(x²)=1/(x²−1), 그리고 x²≠1이다. 학생이 x²−1=0을 풀어 x=±1을 표시했다면, 정답은 1/(x²−1), 정의역은 x≠−1,1이다. 검산할 때는 제외값 두 개를 각각 g에 넣어 본다. g(1)=1, g(−1)=1이므로 둘 다 바깥 함수 f의 금지 입력으로 이동한다. 이는 특정 값의 대입만으로 결론을 대신하는 것이 아니라, f의 분모 조건 t−1≠0에서 t≠1을 얻고 t=x²로 바꾼 일반적인 근거에 해당한다.

안쪽 함수의 부호를 바꾸어 조건 다시 적용하기

이제 문제와 필요한 조건만 남긴다. f(t)=1/(t−1), g(x)=−x²일 때 f(g(x))의 식과 실수 정의역을 구한다고 제시하고, 앞 문제의 풀이와 정답은 가린 채 시작한다. 학생은 먼저 바깥 함수의 허용 입력 t≠1을 적은 뒤 −x²≠1을 세운다. 그러면 f(g(x))=1/(−x²−1)=−1/(x²+1)이고, x²≥0이므로 x²+1≥1이다. 따라서 분모는 실수에서 항상 양수이며 0이 될 수 없다. 정답은 −1/(x²+1), 정의역은 모든 실수이다. 기호만 바뀐 표현인지 실제 조건이 달라진 것인지 구별하려면, 이번에는 x²+1≥1이라는 근거와 분모가 0이 되지 않는다는 결론을 각각 적게 한다. 마지막으로 대표 문제의 정답과 검산 문장을 가린 상태에서 1/(x²−1), x≠−1,1을 다시 쓰고, 두 제외값이 g를 거쳐 금지 입력 1이 되는지 대조한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이렇게 계산 결과와 성립 조건을 따로 확인해, 새로운 기호를 만나도 정의역 판단 순서를 유지하도록 연습한다.