각화동 고등수학과외

“판별식이 0 이상이어야 하니까 k≤1입니다.” 이렇게 답했다면 계산의 방향은 맞아 보이지만, 문제의 조건을 끝까지 반영했는지는 다시 확인해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 식을 계산한 결과와 문제에서 요구한 해의 종류를 나누어 살핀다. 실수 k에 대해 x²−2x+k=0이 서로 다른 두 실근을 갖는 범위를 구할 때, 중근을 포함할 수 있는지부터 점검하는 장면이다.

판별식이 알려 주는 것과 문제의 조건 나누기

이차방정식 ax²+bx+c=0에서 D=b²−4ac는 실근의 존재와 중복 여부를 판단하는 기준이다. D>0이면 서로 다른 두 실근, D=0이면 중근, D<0이면 실근이 없다. 따라서 주어진 식에서는 D=(−2)²−4·1·k=4−4k이다. 학생의 오답처럼 4−4k≥0을 쓰면 k≤1이 되지만, 이는 실근이 하나 이상 존재하는 범위에 해당한다. 문제는 서로 다른 두 실근을 요구하므로 중근인 경계를 제외해야 한다.

이때 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않고 “k=1일 때 서로 다른 근은 몇 개인가?”라고 묻는다. k=1을 대입하면 x²−2x+1=0, 즉 (x−1)²=0이므로 근은 x=1 하나이며 중복되어 있다. 학생은 판별식의 값뿐 아니라 실제 식의 형태와 근의 개수를 직접 표시해 대조한다. 근의 부호를 묻는 문제였다면 근의 합과 곱 또는 실제 근을 추가로 확인해야 하며, 판별식만으로 그 조건까지 결정할 수는 없다.

경계를 제외하는 수정 풀이

학생이 식을 다시 쓰며 4−4k>0이라고 고쳤다면, 이제 부등식을 풀어 4>4k, k<1을 얻는다. 교사는 중간 결과를 함께 확인하되 최종 판단은 학생이 문장으로 정리하게 한다. “서로 다른 두 실근을 가지려면 판별식이 양수여야 하므로 k<1이다.”라는 문장까지 써야 계산과 조건의 연결이 분명해진다.

경계도 따로 대조한다. k=1이면 중근이고, k>1이면 D<0이 되어 실근이 없다. 따라서 정답은 k<1이며, 단순히 D≥0에서 얻은 k≤1은 이 문제의 요구와 맞지 않는다. 수치를 넣는 확인은 경계의 의미를 살피는 용도로 사용하고, 서로 다른 두 실근이라는 결론은 D>0이라는 일반적인 기준으로 설명한다.

조건을 보존한 채 다시 적용하기

다음에는 문제와 필요한 수치만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시는 가린다. 실수 k에 대해 x²+2x+k=0이 적어도 하나의 실근을 갖는 k의 범위를 구하는 문제를 독립적으로 시작한다. 학생은 (x+1)²=1−k로 고친 뒤, 오른쪽이 0인 경우도 허용되는지 확인하여 1−k≥0, k≤1을 얻는다. k=1에서는 x=−1이 실제로 존재하고, k>1에서는 제곱이 음수가 되어 불가능하다는 점도 직접 대조한다.

앞 문제와 식의 표현은 달라졌지만, 핵심 조건은 달라졌다. 앞 문제는 서로 다른 두 실근이므로 D>0이 필요했고, 새 문제는 적어도 하나의 실근이므로 중근을 포함해 D≥0이 가능하다. 학생이 “k=1일 때 서로 다른 근은 몇 개인가?”에 답한 뒤 계산을 스스로 완성하는지 확인하고, 판별식 하나로 결론을 내리려 하면 근의 합과 곱을 별도 칸에 써서 어떤 조건을 확인하고 있는지 구분하게 한다.