두류동 고등수학과외

세 번째 좌표의 거리를 묻는 문제에서 조건을 표시하지 않은 예시 풀이를 먼저 보자. 점 A(1, 2, 3), B(4, 6, 3)의 거리를 구하라는 문제에 이렇게 답했다면 어떨까? “좌표가 세 개이므로 √(3²+4²+3²)=√34이다.” 좌표가 세 개라는 사실만 보고 세 숫자를 모두 거리의 변화량처럼 넣은 풀이이다. 그러나 거리 계산에 필요한 것은 각 점의 좌표 자체가 아니라 두 점 사이에서 달라진 양이다. 배움노트 고등수학 수업에서는 공간 그림의 모양을 먼저 짐작하기보다 x, y, z가 각각 얼마나 변했는지 표시하는 데서 풀이를 시작한다.

z의 값 자체인지, 두 점의 z 차이인지 확인하기

이 오답 하나만으로 원인을 확정할 수는 없다. 평면에서 배운 거리 규칙을 공간으로 옮기는 과정에서 한 좌표를 빠뜨렸을 수도 있고, 구의 반지름과 그 제곱값을 혼동하는 습관이 섞였을 수도 있다. 그래서 먼저 “z의 값 자체인가, 두 점의 z 차이인가?”라고 확인한다. A의 z좌표는 3이고 B의 z좌표도 3이므로 필요한 값은 3 자체가 아니라 3−3=0이다. 학생은 두 점의 좌표를 나란히 적고, 각 방향의 변위를 직접 표시해야 한다. 이때 문제의 조건은 두 점이 같은 z=3 평면 위에 있다는 것이다. 같은 평면에 놓였다는 조건을 확인하면 세 번째 좌표를 무조건 제곱해 넣을 수 없다는 점이 드러난다.

변위 세 개를 적어 거리식을 다시 세우기

공간에서 두 점 사이의 거리는 세 방향 변위의 제곱합의 제곱근으로 계산한다. B−A를 성분별로 쓰면 (4−1, 6−2, 3−3)=(3, 4, 0)이다. 따라서 거리는 √(3²+4²+0²)=√25=5이다. 교사는 중간 결과인 x 방향 3, y 방향 4, z 방향 0을 학생과 함께 확인하지만, 마지막에 왜 5가 되는지는 학생이 문장으로 설명하게 한다. “두 점은 같은 z=3 평면 위에 있으므로 평면에서의 3−4−5 삼각형과 같고, 공간의 세 번째 방향 변화량은 0이다”라고 말할 수 있어야 한다. 수치 대입은 계산을 끝내기 위한 근거가 아니라, 각 조건이 식에 반영되었는지 확인하는 부분 검산으로 사용한다.

표현을 바꿔도 조건이 유지되는지 다시 적용하기

이제 문제와 필요한 수치는 남기고 해설과 유도 표시는 가린 상태에서 다시 시작한다. 새 문제는 A(1, 2, 3), B(4, 6, 15)의 거리를 구하는 것이다. 먼저 x, y의 변화량은 3, 4이므로 가로 평면에서의 거리는 5이다. 이번에는 z좌표가 다르므로 높이 차 15−3=12를 따로 적는다. 가로 평면 거리와 높이 차는 서로 직각인 성분이므로 전체 거리는 √(5²+12²)=13이다. 같은 결과를 세 좌표 차의 제곱합으로 확인하면 3²+4²+12²=9+16+144=169이고, √169=13이다. 앞 문제와 숫자 일부만 달라진 것이 아니라 실제 조건인 z의 변화가 생겼다는 점을 구별해야 한다.

다음 점검에서는 학생이 먼저 “z의 값 자체인가, 두 점의 z 차이인가?”에 답한 뒤 계산을 스스로 완성하는지 본다. 공간 그림의 겉모양에 의존하지 않고 x, y, z의 변화량을 각각 적었는지, 거리식에 반지름의 제곱처럼 다른 개념을 섞지 않았는지 문장과 식을 대조한다. 이후에도 문제·조건·필수 좌표만 남겨 둔 채 풀이와 정답을 가리고 재적용하면, 표현이 달라져도 세 좌표의 차를 기준으로 안정적으로 판단할 수 있다.