두암동 고등수학과외

로그 단원을 풀 때는 계산 결과가 맞는지 숫자만 보는 것보다, 그 값이 주어진 조건과 함께 성립하는지 확인해야 한다. 예를 들어 문제에서 log₂(1/8)의 값을 구하라고 했는데, 이렇게 답했다면 “로그값은 양수라서 3”이라고 적을 수 있다. 그러나 2³=8이므로 3은 1/8이 아니라 8을 나타낸다. 예시 오답과 검산 결과가 어긋나는 지점에서 진수 1/8의 성질을 먼저 살펴야 한다.

1/8을 실제 지수식으로 바꾸어 조건 비교하기

로그의 정의는 logₐb=c일 때 aᶜ=b라는 뜻이다. 이때 밑은 a>0, a≠1이어야 하고 진수는 b>0이어야 한다. 따라서 log₂(1/8)=c라면 2ᶜ=1/8로 바꾸어 읽는다. 1/8은 2⁻³이므로 c=−3이다. 여기서 진수가 양수라는 조건은 로그가 존재한다는 뜻이지, 로그값이 반드시 양수라는 뜻은 아니다. 1보다 작은 양의 수를 만들려면 2의 지수에 음수가 들어가야 한다.

원인을 오답 하나만으로 단정하지 않기 위해 두 가능성을 나누어 확인한다. 먼저 밑과 진수의 조건을 알고 있는지, 다음으로 로그의 곱셈 법칙을 덧셈처럼 잘못 적용한 것은 아닌지 질문한다. “2의 양의 지수로 1보다 작은 값을 만들 수 있는가?”를 직접 적고, 2¹, 2²와 2⁻¹, 2⁻²를 비교하게 한다. 이어 1/8을 2의 거듭제곱으로 바꾸어 학생이 계산 결과와 성립 여부를 각각 표시하게 한다.

학생이 수정한 식을 정의와 함께 대조하기

교사는 logₐb=c와 aᶜ=b를 나란히 제시하고, 성질을 적용하기 전에 밑과 진수의 조건을 확인하게 한다. 학생이 직접 수정한다면 “로그값은 −3이다. 진수가 양수여야 할 뿐 로그값은 음수일 수 있다.”라고 설명할 수 있다. 이후 2⁻³=1/8로 되돌려 쓰면서 정답 −3을 검산한다. 이 검산은 특정 숫자를 우연히 맞힌 것이 아니라 로그의 정의를 다시 만족하는지 확인하는 과정이다. 반대로 3을 대입하면 2³=8이 되어 주어진 진수와 다르므로 오답임을 분명히 적는다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이처럼 부호를 외우게 하기보다 지수식과 원래 조건을 직접 대조하게 한다.

표현을 바꾼 문제에서 같은 판단 다시 적용하기

이제 문제, 밑과 진수의 조건, 필요한 계산 자료만 남기고 풀이 과정·정답·유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 문제는 log₂8의 값을 구하라이다. log₂8=c를 2ᶜ=8로 바꾸면 2³=8이므로 c=3이다. 앞의 문제와 기호를 비교할 때는 표현만 달라진 것인지 조건이 실제로 달라진 것인지 구분한다. 1/8처럼 진수가 1보다 작은 경우에는 음의 지수가 필요하고, 8처럼 1보다 큰 경우에는 양의 지수가 필요하다. 학생은 수정 전후의 풀이 단계를 섞어 놓은 자료에서 먼저 지수식으로 바꾸는 단계를 고르고, 그다음 거듭제곱을 대조해 순서를 복원한다. 마지막으로 다른 양의 밑과 진수가 주어진 문제에서도 로그 기호를 지수식으로 바꾼 뒤, 계산한 값이 원래 진수를 정확히 나타내는지 확인한다.