소촌동 고등수학과외

이번에는 먼저 조건이 달라진 문제를 살펴본다. 벡터 a=(1,2), b=(t,2t)가 모두 영벡터가 아니고 같은 방향을 가리키도록 하는 실수 t의 범위를 구하는 상황이다. 여기서는 단순히 평행한지만 묻지 않고, 같은 방향이라는 조건이 추가되었다. 따라서 배율의 부호와 영벡터 제외 조건을 함께 확인해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이처럼 결론을 먼저 외우기보다, 조건이 바뀐 지점을 표시한 뒤 기준이 되는 풀이로 돌아가게 한다.

실수배와 방향을 구분하는 기준 세우기

기본 문제는 a=(1,2), b=(−2,−4)가 평행한지와 방향 관계를 판단하는 것이다. 이렇게 답했다면 성분의 부호가 서로 다르므로 평행하지 않다고 판단했을 수 있다. 그러나 이 오답 하나만으로 원인을 확정할 수는 없다. 먼저 “b는 a의 실수배로 나타나는가?”라고 묻고, 학생이 직접 −2a=(−2,−4)를 계산해 b와 대조하게 한다. 이어 화살표의 시작점과 끝점을 혼동했는지, 벡터의 크기와 성분 연산을 같은 것으로 생각했는지도 확인한다. 벡터는 크기와 방향을 함께 가지며, 평행이동해도 같은 벡터로 본다. 위치벡터의 차는 두 점 사이의 방향벡터를 만든다는 점도 함께 구분한다.

배율의 부호로 방향까지 판정하기

계산 결과 b=−2a이므로 두 벡터는 평행하다. 실수배의 절댓값이 2라는 것은 크기가 두 배라는 뜻이고, 음의 부호는 화살표 방향이 뒤집힌다는 뜻이다. 따라서 정답은 평행하며 반대 방향이다. 음의 배수는 같은 직선 방향을 유지하면서 화살표 방향만 바꾼다는 일반적인 성질로 확인할 수 있다. 이 설명을 들은 뒤 학생이 “평행하며 방향은 반대이다”라고 직접 수정해 쓰게 한다. 단순히 정답을 받아 적는 대신, 성분 계산과 배율의 부호를 각각 표시해야 결론이 어느 조건에서 나왔는지 분명해진다.

같은 방향 조건을 넣어 독립적으로 재적용하기

이제 문제와 조건만 남긴다. 풀이, 정답, 배율을 유도하는 표시를 가린 상태에서 a=(1,2), b=(t,2t)가 모두 영벡터가 아니고 같은 방향을 가리키도록 하는 실수 t의 범위를 구하게 한다. 학생은 먼저 t=0일 때 b가 영벡터가 되어 제외된다는 경계 조건을 표시한다. 그다음 b=ta이므로 t가 양수이면 같은 방향, 음수이면 반대 방향임을 스스로 연결한다. 따라서 정답은 t>0이다. 부분 검산으로 t>0일 때 b/|b|=(1,2)/√5가 되어 a와 같은 단위 방향을 갖는지 확인할 수 있다. 기본 문제와 달라진 점은 평행 여부에 더해 같은 방향을 요구한다는 것이다. 다음 점검에서는 정답을 보이지 않은 채 제외 조건과 경계값부터 표시하게 하고, 성분을 바로 더하거나 비교하기 전에 원하는 화살표의 시작점과 끝점을 명시하게 한다.