소촌동 중등수학과외

“(x−3)²을 전개하라.”는 문제를 먼저 제시하고, 학생에게 괄호 안의 상수 부호가 바뀌면 어떤 항이 달라지는지 표시하게 했다. 학생은 가운데 항의 부호가 바뀔 것이라고 말했지만, 상수항까지 −9로 적을 가능성이 있어 바로 계산을 대신하지 않았다. 소촌동중등수학과외 수업에서는 학생이 결과만 고르는 대신 괄호를 두 번 곱한 식으로 바꾸고, 각 곱이 어디에 들어가는지 확인하도록 진행했다.

(x−3)²에서 바뀌는 항과 남는 항

교사는 “−3과 −3을 곱하면 얼마지?”라고 짧게 물었다. 학생은 처음에는 −6이라고 답하며 3×3과 3+3을 혼동하는 모습을 보였다. 교사는 “두 수를 더한 건가, 곱한 건가?”라고 다시 질문했고, 학생이 곱셈 기호를 직접 가리키게 했다. 이 단계에서 오답 하나만으로 합의 제곱을 전혀 모른다고 단정하지 않고, 학생이 3×3과 3+3을 구별하는지 먼저 확인했다. 상수항을 곱셈으로 판단하면 부호가 양수가 된다는 점이 이 문제의 확인 지점이었다.

비교할 대표 문제는 (x+3)²을 전개하라이다. 학생이 처음 쓴 답은 x²+6x+6이었다. x²은 맞게 처리했고, 두 교차 항을 3x와 3x로 보아 6x로 정리한 부분도 맞았다. 처음 달라진 판단은 마지막 상수항이었다. 학생은 3과 3을 더해 6으로 적었으므로, 상수항을 두 상수의 곱으로 처리하지 않았다.

합의 제곱을 네 곱으로 펼쳐 보기

교사는 풀이 전체를 대신 적지 않고 한 단계만 대조했다. (x+3)(x+3)=x²+3x+3x+9=x²+6x+9를 보여 주면서 “마지막 9는 어떤 두 항을 곱해서 나왔을까?”라고 물었다. 설명은 상수항이 두 상수의 곱이라는 관계에만 제한했다. 학생은 다음 줄부터 직접 작성하며 “상수항은 제곱으로 계산한다”고 말했고, (x+3)(x+3)=x²+3x+3x+9=x²+6x+9를 완성했다. 처음 풀이와 비교하면 x²과 6x는 그대로 두고, 마지막 숫자만 6에서 9로 바꾸었다. 수정의 근거가 답을 외운 것이 아니라 3×3을 적용한 결과인지 말로 확인했다.

수정된 식은 다른 방식으로도 점검했다. x=1을 대입하면 왼쪽은 (1+3)²=16이고, 오른쪽은 1²+6×1+9=1+6+9=16이다. 또한 전개된 식에 x·x, x·3, 3·x, 3·3 네 곱이 모두 포함되어 있는지 항별로 표시했다. 따라서 마지막 항은 두 상수의 곱인 9이며, 대표 문제의 결론은 (x+3)²=x²+6x+9로 확인된다.

부호를 바꾼 새 문제에 적용하기

이제 처음 제시한 (x−3)²으로 돌아왔다. 대표 문제와 유지되는 원리는 괄호를 두 번 곱해 네 항을 빠짐없이 적는다는 점이다. 달라지는 조건은 괄호의 상수 부호다. 학생은 (x−3)(x−3)으로 바꾼 뒤 x·x=x², x·(−3)=−3x, (−3)·x=−3x, (−3)·(−3)=+9를 차례로 적었다. 교차 항 두 개만 음수가 되고, 마지막 상수 제곱은 양수로 남는다는 점을 식에서 직접 확인했다.

학생이 완성한 계산은 (x−3)(x−3)=x²−3x−3x+9=x²−6x+9이며 정답은 x²−6x+9이다. 교사는 같은 계산을 그대로 반복하지 않고, 네 곱 중 마지막 곱의 부호와 가운데 항의 부호를 따로 가리키게 했다. 다음 수업에서는 대표 문제의 문제·조건만 다시 제시하고 오답과 수정 풀이를 가린다. 학생이 상수항을 먼저 제곱으로 계산한 뒤, (x−3)²에서도 교차 항은 −3x 두 개이고 마지막 항은 +9라고 스스로 설명하는지 확인한다.