소촌동 초등수학과외

이 글은 직사각형 종이를 직접 붙여 보며 둘레의 의미를 확인하는 교육용 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 변의 길이가 6cm와 3cm로 표시된 같은 직사각형 종이 두 장을 준비하고, 두 장을 붙였을 때 바깥 경계의 길이를 구합니다. 먼저 한 장의 둘레는 6+3+6+3=18cm이므로 두 장의 둘레 합은 36cm입니다. 그런데 붙인 선은 합친 뒤 안쪽에 들어가 바깥 경계에서 보이지 않게 됩니다.

같은 종이라도 어느 변을 맞붙이는지 살펴보기

첫 번째 경우에는 두 종이의 3cm 변끼리 맞붙입니다. 아이는 종이의 맞닿은 선분을 연필로 표시한 뒤, 두 종이의 바깥쪽 가장자리를 한 바퀴 손가락으로 따라가 봅니다. 각 종이에서 둘레로 세었던 맞닿은 3cm 선분이 합친 도형에서는 안쪽 선이 되었으므로 두 번 빠집니다. 따라서 바깥 둘레는 18+18-3-3=30cm입니다.

두 번째 경우에는 6cm 변끼리 맞붙입니다. 이번에도 아이는 실제로 서로 닿은 선분만 표시하고, 한 점에서 출발해 외곽을 따라 길이를 합칩니다. 이번에는 안쪽으로 들어간 공유 변이 양쪽에서 각각 6cm이므로 18+18-6-6=24cm입니다. 두 경우 모두 원래 종이 두 장의 둘레 합은 36cm이지만, 공유하는 선분의 길이가 달라 바깥 둘레가 달라집니다. 더 긴 6cm 변을 맞붙였을 때 내부로 들어가는 길이가 더 커져 바깥 둘레가 더 짧아지는 것입니다.

오해를 종이와 식으로 구분하기

아이가 “더 긴 변을 붙였으니 합친 둘레도 더 길 것 같다”고 말할 수 있습니다. 이 답은 이 조건에서는 맞지 않습니다. 교사는 먼저 종이를 떼어 놓았을 때 둘레를 각각 세게 하고, 붙인 뒤 사라진 선분을 손가락으로 짚어 보게 합니다. 말로 이유를 설명하기 어렵다면 3cm 선분과 6cm 선분 중 어느 부분이 안쪽으로 들어갔는지 가리키거나, 종이를 옮겨 경계를 다시 그리는 방식으로 확인할 수 있습니다.

교사가 한쪽 종이를 붙이는 과정을 시범 보인 뒤에는 아이가 두 종이를 다시 처음 상태로 놓고, 문제에 나온 방식대로 맞붙여야 합니다. 해설과 정답은 가린 채 종이와 변의 길이 표시는 그대로 둡니다. 아이는 공유 변을 표시하고 외곽을 따라가며 30cm 또는 24cm를 직접 계산합니다. 이때 숫자만 적는 것이 아니라, 뺀 길이가 공유 변의 양쪽에 해당한다는 관계를 종이에서 보여 주는지가 중요합니다.

점 하나만 닿는 새 문제에 적용하기

이제 조건을 바꿔 9cm×3cm 직사각형 두 장을 준비합니다. 두 종이를 모서리의 점 하나만 닿도록 놓고, 서로 겹치거나 선분 전체가 맞닿지 않게 합니다. 한 장의 둘레는 9+3+9+3=24cm이고 두 장의 둘레 합은 48cm입니다. 이번에는 공유하는 선분이 없으므로 뺄 길이도 없습니다. 아이가 두 도형의 바깥 경계를 각각 한 바퀴씩 따라가며 전체 48cm를 구하면, 선분 접촉과 점 접촉을 구분한 것입니다.

다음 확인에서는 5cm×3cm 종이 두 장을 붙이는 경우도 선택해 볼 수 있습니다. 한 장의 둘레는 16cm, 떼어 놓았을 때 두 둘레의 합은 32cm입니다. 3cm 변끼리 붙이면 접합선 양쪽의 3cm씩이 안쪽으로 들어가 32-3-3=26cm가 됩니다. 기본 문제와 새 문제에서 달라진 것은 종이의 크기와 닿는 방식이고, 그대로인 관계는 바깥 둘레에서 내부로 들어간 공유 선분을 빼는다는 점입니다. 아이가 답을 기억해 말하는 데서 그치지 않고, 새 자료의 공유 구간을 표시하고 외곽을 따라 이유를 보여 주는지 다음 활동에서 확인합니다.