신천동 고등수학과외

확률과 통계 문제에서는 값 자체와 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 구분해야 결론이 달라지지 않는다. 특히 분산은 편차의 제곱을 모은 값이고 표준편차는 그 결과에 제곱근을 취한 값이므로, 두 수를 같은 단위로 읽으면 오류가 생긴다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 조건이 하나 달라졌을 때 무엇이 유지되고 무엇이 바뀌는지 나란히 확인한다.

±2의 값에서 분산과 표준편차를 분리하기

이산확률변수 X가 -1과 1을 각각 확률 1/2로 갖고, Y=2X일 때 Y의 값은 -2와 2이며 각 확률은 1/2이다. 확률의 합은 1이고 모든 확률은 0 이상이어야 한다. 이렇게 답했다면 평균은 0, 분산은 2, 표준편차는 2라고 썼을 수 있다. 그러나 평균은 단순한 값의 평균이 아니라 확률을 곱한 가중합이다. Y의 평균은 (-2)×1/2+2×1/2=0이다.

오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, “Y가 -2와 2일 때 평균에서의 차 제곱은 얼마인가?”라고 묻는다. 학생이 각 값을 직접 표시하면 평균에서의 차는 각각 -2와 2이고, 차의 제곱은 모두 4임을 확인할 수 있다. 따라서 분산은 4×1/2+4×1/2=4이며, 표준편차는 √4=2이다. 분산 4는 값의 제곱 단위이고 표준편차 2는 원래 값의 단위로 돌아온다는 점까지 문장으로 정리한다.

분산의 정의와 계산 결과를 대조하기

교사는 먼저 Y의 값과 확률을 표처럼 적게 한 뒤 평균, 편차, 편차의 제곱, 확률을 곱한 항을 차례로 확인한다. 중간 계산을 함께 보더라도 최종 판단은 학생이 직접 “평균은 확률 가중합이고, 분산은 평균에서의 차 제곱의 확률 가중합이다”라고 쓰게 한다. 이 과정은 분산과 표준편차를 같은 수로 처리하는지, 값의 단순평균과 확률 가중평균을 혼동하는지 구분하는 데 도움이 된다. 배움노트 고등수학 수업에서는 숫자를 다시 대입하는 데 그치지 않고 각 식이 실제로 뜻하는 양을 말하게 한다.

상수 이동과 실수배를 구별해 다시 적용하기

문제와 필요한 수치만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 E(X)=2, V(X)=3일 때 Y=X+5의 평균과 분산을 구하게 한다. 학생은 먼저 Y의 평균이 7임을 계산한 뒤, Y-7=(X+5)-7=X-2로 편차가 그대로임을 표시해야 한다. 그러므로 V(Y)=3이다. 모든 값에 같은 상수를 더하면 중심도 함께 이동하지만 평균으로부터의 편차와 편차의 제곱은 변하지 않는다.

앞의 문제와 표현만 바꾼 것인지, 실제 조건이 바뀐 것인지도 확인한다. Y=2X에서는 평균이 0에서 0으로 유지되지만 편차의 크기가 두 배가 되어 분산은 네 배가 되었다. 반면 Y=X+5에서는 편차가 그대로여서 분산이 유지된다. 다시 처음 문제의 “Y가 ±2일 때 평균에서의 차 제곱”을 답하게 한 뒤 계산을 끝까지 스스로 완성하는지 점검하고, 분산과 표준편차가 섞이면 평균의 이동과 편차의 배율을 나누어 적게 한다.