청라국제도시 고등수학과외

“제곱이므로 모든 실수에서 양수”라는 풀이에서 시작하기

일차·이차부등식의 해집합을 다룰 때는 식의 모양만 보고 결론을 서두르지 않아야 한다. 예를 들어 실수 x에 대해 (x−2)²>0을 풀면서 “제곱이므로 모든 실수에서 양수”라고 답했다면, 계산의 방향은 비슷해 보여도 x=2에서 어떤 값이 나오는지 빠져 있다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, 먼저 “x=2에서도 양수인가, 0 이상인가?”라고 묻는다. 학생은 x=2를 직접 대입해 안쪽 식 x−2가 0이 되고, 그 제곱도 0임을 표시한다. 이때 ‘제곱은 항상 양수’라고 기억한 것인지, 부등호에 등호가 포함되는지 놓친 것인지 구분해 볼 수 있다.

중근의 값을 표시하고 식 전체의 부호를 복원하기

실수의 제곱은 언제나 0 이상이며, 안쪽 식이 0일 때에만 0이 된다. 따라서 (x−2)²>0에서는 밑이 0이 되는 x=2를 먼저 경계로 표시해야 한다. x≠2이면 x−2는 0이 아닌 실수이고, 0이 아닌 실수의 제곱은 양수이므로 부등식이 성립한다. 반대로 x=2에서는 좌변이 0이 되어 ‘양수’라는 조건을 만족하지 않는다. 학생이 중간 결과를 확인한 뒤 “x=2만 제외한 모든 실수가 해이다”라고 문장으로 쓰게 하면, 식의 부호와 등호 포함 여부를 함께 판단할 수 있다. 여기서 원의 표준형처럼 특정 식의 오른쪽 값을 제곱과 혼동하지 않듯, 이번에도 제곱의 범위와 부등호의 조건을 정확히 대조해야 한다. 정답은 x≠2이며, 이는 한 점을 직접 대입한 결과뿐 아니라 0이 아닌 실수의 제곱이 양수라는 일반 성질로 확인된다.

표현이 바뀐 식에서 허용되는 점과 제외되는 점 비교하기

같은 성질을 실제 조건이 달라진 문제에 다시 적용해 보자. 대표 문제의 식과 실수라는 범위만 남기고 풀이와 정답을 가린 상태에서, 학생이 먼저 다음 문제를 읽는다. 실수 x에 대해 −(x−2)²≤0을 풀어라. 이번에는 (x−2)²≥0에 −1을 곱한 부등식이므로, 모든 실수 x에서 −(x−2)²≤0이다. x=2에서는 좌변이 0이 되어 등호가 성립하고, x>2인 경우에도 제곱은 0 이상이므로 앞의 음수 부호를 붙인 값은 0 이하이다. x<2인 경우도 같은 이유로 성립한다. 따라서 정답은 모든 실수이다. 앞 문제는 제곱이 0인 점을 제외했지만, 이번 문제는 등호를 허용해 그 점까지 포함한다. 배움노트 고등수학 수업에서 이 차이를 확인할 때는 숫자 하나를 바꿔 보는 데 그치지 않고, 부등호의 등호 포함 여부와 음의 부호가 식 전체에 미치는 영향을 학생이 직접 표시하게 한다. 다음 점검에서는 문제의 식·범위·필요한 표시만 남겨 두고, 학생이 “x=2에서도 0 이상인가?”에 맞는 근거를 골라 수정 풀이를 다시 쓴다. 부호표가 불안정하다면 각 인수의 양수·음수 구간을 따로 그린 뒤, 중근에서 부호가 바뀌지 않는다는 사실과 제외 조건을 대조한다.