성당동 고등수학과외

예시 답안의 한 줄을 먼저 본다. “t=x²로 두고 t=1,4를 구한 뒤 x=1,4라 씀.” 겉으로는 치환과 이차방정식 풀이가 끝난 것처럼 보이지만, 여기에는 t와 원래 미지수 x를 같은 것으로 취급한 단계가 들어 있다. 배움노트 고등수학 수업에서는 오답 하나만으로 원인을 정하지 않고, 치환한 값이 무엇을 의미하는지 다시 확인하는 질문부터 시작한다.

t=4가 뜻하는 x의 방정식부터 묻기

문제는 실수 x에 대해 x⁴−5x²+4=0을 푸는 것이다. t=x²로 놓으면 t²−5t+4=0이고, 인수분해하여 (t−1)(t−4)=0을 얻으므로 t=1 또는 t=4이다. 이때 학생에게 “t=4가 뜻하는 x의 방정식은 무엇인가?”라고 묻는다. t는 새로 만든 중간 변수이므로 t=4를 곧바로 x=4로 읽을 수 없다. 또한 실수 x라면 t=x²≥0이라는 조건도 함께 적어야 한다. 이 조건을 알고 있는지, 알고도 마지막 줄에 적용하지 못했는지는 학생이 t의 범위에 표시하고 원래 식으로 돌아가는 과정을 직접 적는지로 구분한다.

x²=1 또는 x²=4로 되돌려 직접 계산하기

설명은 첫 비교까지만 제시한다. (t−1)(t−4)=0에서 나온 결과를 t=x²에 대입하면 x²=1 또는 x²=4이다. 이제 남은 계산은 학생이 직접 한다. x²=1에서는 x=±1, x²=4에서는 x=±2를 얻는다. 따라서 후보는 −2, −1, 1, 2이다. 원식은 (x²−1)(x²−4)=0으로 다시 쓸 수 있고, 이를 (x−1)(x+1)(x−2)(x+2)=0으로 나누어 보면 네 일차 인수가 각각 네 해를 포함한다. 이 구조는 특정 수를 대입한 결과가 아니라, 인수분해와 방정식의 동치 변형에 근거한 검산이다. 단, 치환 과정에서 t=x²의 의미와 실수 조건을 유지했을 때에만 이 되돌림이 성립한다.

조건을 남긴 상태에서 표현과 조건을 바꾸어 재적용하기

다음에는 풀이와 정답을 먼저 보여 주지 않고, 문제와 조건만 남긴다. 실수 x에 대해 x⁴+x²−2=0을 풀되, t=x²로 치환하고 t≥0을 함께 기록하게 한다. 학생은 t²+t−2=(t−1)(t+2)로 정리한 뒤 t=1 또는 t=−2를 얻는다. 여기서 x²은 실수의 제곱이므로 음수가 될 수 없다는 조건을 확인하여 t=−2를 버리고, x²=1에서 x=±1을 직접 적는다. ±1을 원식에 대입하면 1+1−2=0이므로 정답 −1, 1을 확인할 수 있다. 마지막 줄은 비워 두고 “t를 답으로 쓰지 않고 x의 방정식으로 되돌린 이유”를 학생이 채우게 한다. 이어서 식의 표현만 달라진 경우와 실제 조건이 달라진 경우를 구별하고, 바뀐 조건을 먼저 표시하는지 살핀다. 치환값을 얻은 뒤에는 허용 범위를 확인하고, t에서 x로 돌아가는 방정식을 별도로 푸는 습관을 다음 문제에도 유지한다.