아산탕정신도시 고등수학과외

수정 풀이에서 출발하기

수정 풀이의 핵심은 “y≠2일 때 x=1+1/(y−2)가 존재하므로 치역은 R−{2}이다”라는 판단이다. 이 식은 단순히 값을 몇 개 대입해 얻은 결론이 아니라, 출력값 y가 실제로 만들어질 수 있는지 역으로 확인한 결과다. 배움노트 고등수학 수업에서는 유리함수의 치역을 구할 때 식의 모양만 보고 제외값을 정하지 않고, 먼저 출력과 입력 사이의 관계를 다시 세우게 한다.

y≠1이라는 오답에서 빠진 판단 찾기

문제는 f(x)=1/(x−1)+2, x≠1의 치역을 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 분모 조건 x≠1은 확인했지만, 그 조건이 출력 y에 어떤 제한을 만드는지는 끝까지 연결하지 않은 셈이다. “출력 y에서 2를 뺀 값이 0이 될 수 있는가?”라고 물어 보면, 분모의 제한 자체를 모르는지, 식을 변형한 뒤 원래의 금지값을 잊은 것인지 구별할 수 있다. 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, 학생이 원식과 변형식을 직접 표시하게 한다.

y=1은 실제로 가능하다. 1=1/(x−1)+2에서 1/(x−1)=−1이므로 x=0이 되고, 이는 x≠1을 만족한다. 반면 y=2라면 y−2=0이므로 1/(x−1)=0이 되어야 하는데, 분자가 1인 분수는 정의된 범위에서 0이 될 수 없다. 따라서 잘못된 결론 y≠1을 그대로 고치는 것이 아니라, 출력에서 제외되는 값이 무엇인지 등식으로 다시 확인해야 한다.

정의역을 남긴 채 역대응으로 확인하기

y=1/(x−1)+2에서 y−2=1/(x−1)이다. 오른쪽은 항상 0이 아니므로 y−2≠0, 즉 y≠2가 필요하다. 이제 이 조건이 충분한지도 확인한다. y≠2이면 x=1+1/(y−2)로 x를 정할 수 있고, 1/(y−2)는 0이 아니므로 x≠1이다. 이 x를 원래 식에 대입하면 주어진 y가 다시 나오므로 모든 y≠2가 실제 출력이 된다. 따라서 치역은 R−{2}이다. 식을 간단히 정리했더라도 원래 분모가 0이 되는 x=1의 제한은 끝까지 옆에 남겨 두어야 한다.

같은 식이라도 정의역 조건이 달라지면 치역도 달라진다. 표현을 바꾼 것과 실제 입력 범위를 바꾼 것은 구별해야 한다. 예를 들어 f(x)=1/(x−1)+2, x>1의 경우에는 x−1이 양수이므로 1/(x−1)도 양수이고, 따라서 y−2>0이다. 그러므로 출력은 (2,∞)에 들어간다. 반대로 임의의 y>2를 택하면 x=1+1/(y−2)>1이므로 그 출력이 실제로 만들어진다. 필요조건과 충분조건을 모두 만족하므로 치역은 (2,∞)이다.

기본 문제를 다시 풀 때는 정답을 기억해 적은 것인지, 제외값이 생기는 이유를 이해한 것인지 구분해야 한다. 먼저 원식의 금지값 x=1을 표시하고, y에서 이동한 값을 적은 뒤, y−2=0 가능 여부를 판단한다. 이후에는 정의역을 x>1처럼 바꾼 문제를 풀며 부호 조건과 역대응을 함께 확인한다. 이렇게 답을 식으로 바꾸어 표시하는 습관을 들이면 유리함수의 제외 출력과 정의역 제한을 같은 개념으로 섞지 않고 각각 정확히 점검할 수 있다.