삼각동 고등수학과외

함수 문제에서는 정답을 먼저 고르는 것보다 어떤 조건이 비어 있는지 찾는 과정이 중요하다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서 다음과 같은 답안을 제시했다고 하자. $X=\{1,2\}$, $Y=\{a,b\}$이고 대응이 $1\to a,\ 1\to b,\ 2\to a$일 때, “X의 모든 원소에 화살표가 있으므로 함수이다”라고 썼다면 결론만 고치는 데서 멈추지 않는다. 모든 입력에 대응이 있다는 조건과 입력 하나에 출력이 정확히 하나라는 조건을 나누어 살펴야 한다.

화살표가 있다는 사실과 출력의 유일성 확인

먼저 그림 전체의 화살표 수를 세지 않고 입력별 대응표를 다시 만든다. 확인 질문은 간단하다. 입력 $1$에 연결된 출력은 몇 개인가? $1$에서는 $a$와 $b$, 두 개의 출력이 연결되어 있고 $2$에서는 $a$ 하나가 연결되어 있다. 따라서 “정의역의 모든 원소가 적어도 하나의 출력과 연결된다”는 사실만으로는 함수라고 할 수 없다. 함수의 정의는 정의역의 각 원소마다 출력이 정확히 하나씩 정해지는 것이다.

이때 공역의 모든 원소가 사용되어야 한다는 조건과 혼동하지 않도록 한다. 공역 $Y$에 있는 원소가 모두 화살표를 받아야 한다는 말은 함수의 필수 조건이 아니다. 핵심은 입력 쪽인 정의역에서 각각 하나의 출력으로만 정해지는지 확인하는 데 있다. 첫 비교까지만 제시한 뒤, 나머지 대응을 학생이 직접 표시하고 문장으로 적게 한다.

학생이 대응을 직접 적어 결론 완성하기

학생은 입력 $1$에 연결된 두 화살표를 표시하고, 입력 $2$의 화살표도 따로 확인한다. 그 결과 “$1$이 $a,b$ 둘에 대응하므로 함수가 아니다”라고 수정할 수 있다. 정답은 함수 아님이다. 검산할 때는 두 가지를 각각 점검한다. 첫째, 모든 입력에 대응이 존재하는가? 둘째, 각 입력의 출력이 유일한가? 이 문제는 첫째는 만족하지만 둘째를 만족하지 않으므로 함수가 아니다.

이 과정을 통해 처음의 판단이 단순히 화살표를 빠뜨려서 틀린 것이 아니라, ‘모든 입력에 대응이 있음’과 ‘입력마다 출력이 하나뿐임’을 같은 조건으로 본 데서 생겼을 가능성을 확인한다. 한 번의 오답만으로 원인을 확정하지 않고, 학생이 실제로 $1$의 대응 개수를 세고 정의역·공역·치역을 구분해 적는지 함께 살핀다.

조건을 바꾼 문제에서 다시 확인하기

풀이와 정답을 가린 뒤 $X=\{1,2\}$, $Y=\{a,b,c\}$, $1\to a,\ 2\to a$라는 문제와 조건만 남겨 다시 시작한다. 이번에는 먼저 바뀐 조건인 공역의 원소 $c$가 사용되지 않았다는 점을 표시하고, 각 입력의 대응을 표로 적는다. $1$에는 $a$ 하나, $2$에도 $a$ 하나가 연결되어 있으므로 입력마다 출력이 정확히 하나씩 정해진다. 서로 다른 입력이 같은 출력으로 가는 것은 허용되므로 함수이다.

실제 출력은 $a$뿐이므로 치역은 $\{a\}$이다. 공역은 $Y=\{a,b,c\}$ 전체이고, 치역은 대응을 통해 실제로 나온 값만 모은 집합이다. 따라서 $c$처럼 사용하지 않은 공역 원소가 있어도 함수 조건에는 문제가 없다. 마지막에는 오답의 결론 부분을 비워 두고 “함수이다. 각 입력에 출력이 하나씩 정해지고, 공역의 미사용 원소는 허용되기 때문이다”를 학생이 직접 채우게 한다. 다음 점검에서는 그림의 화살표 수가 아니라 입력별 대응표를 먼저 만들었는지 확인한다.