오치동 고등수학과외

실수 계수 조건과 처음 답을 대조하기

복소수와 이차방정식을 공부할 때 “실계수 방정식의 한 근이 주어지면 다른 근은 켤레복소수”라고 말할 수 있어도, 그 기준을 식에 정확히 적용하지 못하면 답이 달라진다. 예를 들어 실수 a, b에 대하여 x²+ax+b=0의 한 근이 1+2i라고 하자. 다른 근과 a, b를 구하는 문제에서 이렇게 답했다면 어떨까. 다른 근을 −1−2i로 정하고 a=0, b=−5라고 계산한 경우다.

배움노트 고등수학 수업에서는 이 한 번의 오답만으로 원인을 단정하지 않는다. 먼저 “실계수 방정식의 켤레근에서 바뀌는 부분은 실수부인가, 허수부인가?”라고 묻고, 학생이 말로 답한 내용을 처음 쓴 식 옆에 직접 적어 대조하게 한다. 1+2i에서 실수부 1의 부호까지 바뀐 것인지, 허수부 2i의 부호만 바뀐 것인지 표시하면 답의 차이가 분명해진다.

두 근의 합과 곱을 학생의 계산으로 연결하기

실수 계수 이차방정식에서는 한 근이 1+2i일 때 다른 근은 1−2i이다. 여기서 복소수의 실수부와 허수부를 나누어 보되, 실수에서 익힌 규칙을 복소수에 그대로 옮기지 않도록 한다. 학생이 직접 두 근을 더하면 (1+2i)+(1−2i)=2이고, 근과 계수의 관계에 따라 두 근의 합은 −a이므로 a=−2이다.

이번에는 곱을 계산한다. (1+2i)(1−2i)=1−(2i)²=1−4i²=1+4=5이므로 b=5이다. 이때 교사는 켤레복소수의 기준과 근과 계수의 관계를 보여 주고, 실제 전개와 부호 선택은 학생이 직접 하게 한다. 만약 a=0, b=−5가 나왔다면 그 식이 뜻하는 근의 합과 곱을 다시 계산하여 주어진 근과 맞는지 확인한다. 오답의 원인이 켤레근 선택인지, i²=−1의 적용 누락인지, 계수 관계의 부호인지 각각 구분할 수 있다.

학생의 수정 풀이는 다음과 같이 정리된다. 다른 근은 1−2i, 두 근의 합은 2이므로 a=−2, 두 근의 곱은 5이므로 b=5이다. 식을 직접 전개하면 (x−(1+2i))(x−(1−2i))=(x−1−2i)(x−1+2i)=(x−1)²+4=x²−2x+5이다. 따라서 정답은 다른 근 1−2i, a=−2, b=5이며, 전개 결과의 x의 계수와 상수항이 각각 −2와 5인지 검산할 수 있다.

표현이 바뀌어도 같은 기준을 다시 적용하기

설명을 덮은 상태에서 학생이 먼저 예시 오답을 스스로 고친 뒤, 문제와 조건만 남긴 자료로 다시 시작한다. 이번에는 (2+i)²을 a+bi 꼴로 계산한다. 풀이와 정답은 가린 채 식만 보고 (2+i)(2+i)를 직접 전개하게 한다. 네 항 중 2i와 2i를 표시하면 4+2i+2i+i²가 되고, i²=−1을 적용하여 3+4i를 얻는다.

이 과정에서 같은 수의 제곱과 켤레인 두 수의 곱은 서로 다른 표현임을 구별해야 한다. (1+2i)(1−2i)는 허수항이 서로 없어져 실수가 되지만, (2+i)²에서는 두 2i 항이 더해져 허수부 4i가 남는다. 직접 곱한 네 항에서 실수부가 3, 허수부가 4인지 각각 표시하고 대조한다. 켤레근의 실수부와 허수부 중 무엇이 바뀌는지에 대한 답과 이 풀이가 함께 맞을 때 다음 점검으로 넘어간다. 부호가 다시 흔들리면 i, i², i³, i⁴의 값을 순서대로 직접 적고 켤레복소수의 곱도 계산하여 기준을 회복한다.