양산지구 고등수학과외

이번에는 조건이 달라진 문제부터 살펴본다. 직선 위 위치가 s(t)=t²−4t(m), t≥0(초)일 때 t=1의 속도와 속력을 구하는 상황이다. 위치의 변화율을 구한다는 틀은 같지만, 이번에는 속도와 속력을 함께 묻기 때문에 부호와 절댓값을 구별해야 한다. 풀이와 정답을 가린 채 문제와 조건만 남겨 두고, 먼저 t≥0을 표시한 뒤 무엇을 미분하고 무엇에 절댓값을 취할지 학생이 직접 적게 한다.

달라진 조건에서 생기는 오답을 확인하기

이렇게 답했다면 “v(1)=2m/s, 속력도 −2m/s”처럼 속도와 속력을 같은 값으로 적거나, 위치식에 t=1을 바로 대입해 위치값을 답으로 삼을 수 있다. 그러나 오답 하나만 보고 원인을 확정하지 않는다. “위치를 한 번 미분하면 무엇이고, 두 번 미분하면 무엇인가?”, “속도와 속력 중 부호를 가질 수 있는 것은 무엇인가?”라고 묻고, 학생이 식 옆에 단위와 부호의 의미를 직접 표시하게 한다. 위치는 m, 속도는 m/s, 가속도는 m/s²라는 차이도 함께 대조한다.

기본 문제로 돌아가 미분 순서를 세우기

기준을 세우기 위해 직선 위 위치 s(t)=t³−3t(m), t≥0(초)에서 t=2의 속도와 가속도를 구한다. 위치값 s(2)=2m은 현재 위치일 뿐 속도가 아니다. 위치의 도함수는 속도이므로 v(t)=s′(t)=3t²−3(m/s), 속도의 도함수는 가속도이므로 a(t)=v′(t)=6t(m/s²)이다. 교사가 식을 끝까지 대신 쓰지 않고 여기서 멈추면, 학생은 조건 t=2를 반영해 v(2)=9m/s, a(2)=12m/s²를 직접 계산한다. 가속도는 속도의 도함수라는 관계와 각 단위를 다시 확인하면, 위치값과 변화율이 섞이지 않는다.

조건을 남긴 채 풀이를 다시 적용하기

이제 문제·조건·필수 자료만 남기고 풀이, 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 s(t)=t²−4t(m), t≥0, t=1이라는 조건을 다시 읽는다. v(t)=2t−4이므로 v(1)=−2m/s이고, 속력은 |v(t)|이므로 2m/s이다. 속도의 음의 부호는 위치가 감소하는 방향을 뜻하며, 속력 2m/s는 빠르기의 크기만 나타낸다. 기본 문제와 달라진 점은 가속도가 아니라 속력까지 구한다는 데 있다고 한 문장으로 쓰게 한다. 같은 표현만 바뀐 것인지 조건 자체가 바뀐 것인지도 구분한다. 마지막에는 위치를 한 번 미분해 속도, 두 번 미분해 가속도를 얻고 속력에만 절댓값을 취한다는 순서를 적는다. 경계값이나 제외 조건을 먼저 표시하는 습관을 이어 가면, 단위가 섞이거나 부호를 지우는 실수를 다음 풀이에서도 스스로 찾아낼 수 있다.