매곡동 고등수학과외

4!로 세었을 때 무엇이 겹치는가

확률과 통계에서 중복순열과 같은 것이 있는 순열을 구분할 때는, 자리를 서로 다른 것으로 보는지와 글자 자체도 서로 다른 것으로 보는지를 나누어 확인해야 한다. 예를 들어 A,A,B,B 네 글자를 일렬로 놓아 서로 다른 문자열의 수를 구하는 문제에서 이렇게 답했다면 어떨까. 학생이 4!=24라고 썼다면, 네 자리를 배열하는 방법은 모두 세었지만 같은 글자의 교환까지 다른 결과로 센 셈이다. 이때 답 하나만 보고 원인을 확정하지 않고, “두 A를 맞바꾸면 문자열이 달라지는가?”라고 묻는다. 두 A의 위치를 바꾸어도 보이는 문자열이 그대로라면, 두 대상을 구별해 센 과정이 있었는지 확인할 필요가 있다.

구별해서 센 뒤 겹친 횟수 확인하기

먼저 A₁,A₂,B₁,B₂처럼 임시로 이름을 붙이면 4개의 자리를 배열하는 경우는 4!이다. 그러나 결과에서 A₁과 A₂를 서로 바꾸는 2!가지, B₁과 B₂를 서로 바꾸는 2!가지는 각각 같은 문자열을 만든다. 따라서 같은 결과가 2!·2!번씩 반복되므로, 학생은 4!/(2!2!)=6이라는 등식을 직접 작성한다. 이 나눗셈은 단순히 외우는 공식이 아니라, 같은 대상을 구별하여 생긴 중복을 제거하는 과정이다. 원래 문제의 조건은 A 두 개와 B 두 개가 각각 서로 같다는 것이므로, 서로 다른 문자열은 6개이다.

계산 뒤에는 답만 적지 않고 성립 조건과 검산 근거를 함께 표시한다. A가 놓일 두 위치를 먼저 고르면 4C2=6이고, 남은 두 자리는 B로 채워진다. 따라서 순서를 바꾸어도 달라지지 않는 같은 글자의 교환을 제외한 결과와 일치한다. 작은 수의 문제에서는 AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA, BBAA를 직접 적어 중복이 없는지도 대조할 수 있다. 여기서 4C2는 A의 위치를 선택하는 관점의 검산이며, 모든 배열에서 성립하는 이유는 네 자리 중 정확히 두 자리를 A가 차지하도록 정하면 나머지가 자동으로 B가 되기 때문이다.

반복 개수가 바뀌면 나누는 수를 다시 판단하기

다음에는 대표 문제의 문제·조건·필수 자료만 남기고, 풀이와 정답 및 유도 표시는 가린 상태에서 다시 시작한다. 학생이 계산 결과 6과 성립 조건을 각각 적은 뒤, 글자의 반복 개수가 달라지면 같은 방식으로 처리할 수 있는지 설명하게 한다. A,A,A,B 네 글자를 배열할 때는 A 세 개의 교환을 먼저 공식에 넣기보다 B의 위치를 표시한다. B가 첫째, 둘째, 셋째, 넷째 자리에 오는 경우가 각각 하나씩이므로 문자열은 4개이다. BAAA, ABAA, AABA, AAAB를 직접 대조하면 답 4개와 맞는다. 이는 4!/3!=4로도 확인된다. 표현만 바꾼 문제인지, 실제로 반복 조건이 바뀐 문제인지 먼저 구분하고, 다음 점검에서는 가려 둔 조건을 읽은 뒤 나누는 수를 스스로 정하도록 한다.