용봉동 고등수학과외

조건을 표시하지 않은 첫 풀이

지수방정식과 지수부등식을 다룰 때는 계산을 시작하기 전에 밑과 지수의 관계, 부호, 정의역을 함께 표시해야 한다. 예를 들어 실수 x에 대해 2^(x+1)=8을 풀어라라는 문제에서 이렇게 답했다면, 2^(x+1)=8에서 곧바로 x+1=8, x=7이라고 쓰게 된다. 이 계산은 오른쪽의 8을 지수로 바꾸지 않은 채 지수와 값을 직접 비교한 것이다. 다만 이 한 번의 오답만으로 밑 맞추기가 전혀 되지 않는다고 단정하지는 않는다. 8을 밑 2의 거듭제곱으로 쓰는 과정이 어려운지, 또는 부등식에서 밑이 1보다 큰지 작은지에 따른 대소 비교가 어려운지 나누어 확인한다.

같은 밑으로 바꾸고 학생이 다시 계산하기

먼저 짧게 “8을 밑 2의 거듭제곱으로 쓰면?”이라고 묻는다. 학생이 8=2³이라고 말하거나 직접 적는지 확인한 뒤, 주어진 식을 2^(x+1)=2³으로 다시 쓴다. 밑이 같은 지수함수 2^t는 실수 전체에서 일대일이므로 두 지수를 비교할 수 있다. 따라서 x+1=3이고, 학생은 양변에서 1을 빼 x=2라고 직접 완성한다. 교사는 중간 식 8=2³과 x+1=3을 함께 표시하되, 마지막 판단은 학생이 “같은 밑이고 일대일이므로 지수가 같다”라고 문장으로 쓰게 한다. 이렇게 해야 단순히 외운 규칙이 아니라 식의 구조를 근거로 사용했는지 확인할 수 있다.

이제 계산 결과를 원식에 대입한다. x=2이면 2^(2+1)=2³=8이므로 주어진 등식과 맞는다. 또한 2^t가 일대일이라는 성질에 따라 같은 값을 만드는 지수는 하나뿐이므로 다른 해가 생기지 않는다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이처럼 답만 맞추는 데서 멈추지 않고, 틀린 식이 실제로 무엇을 비교하고 있었는지와 주어진 조건에 맞는 식으로 어떻게 복원했는지를 함께 말하게 한다. 지수부등식이라면 같은 밑으로 바꾼 뒤 밑이 1보다 큰지, 0과 1 사이인지 먼저 확인해야 하며, 후자의 경우에는 대소 방향이 바뀐다는 조건까지 적어야 한다.

풀이를 가린 상태에서 조건을 바꾸어 재확인하기

다음에는 문제와 필요한 자료만 남기고 풀이와 정답을 가린다. 문제는 “실수 x에 대해 4^x=1/8을 풀어라”이다. 학생은 먼저 4^x=2^(2x), 1/8=2⁻³이라고 표시한 뒤 2^(2x)=2⁻³에서 2x=−3, x=−3/2를 스스로 이어 쓴다. 여기서는 역수인 1/8을 음의 지수로 나타내야 한다는 표현 변화가 추가되었지만, 밑을 같게 만든 뒤 지수를 비교한다는 핵심 방법은 그대로다. 마지막에는 4^(−3/2)=1/(√4)³=1/8이라고 부분 검산하고, 원식의 조건인 실수 x 안에서 계산했는지도 확인한다. 같은 문제의 표현만 바꾼 것과 실제 조건을 바꾼 것은 구별해야 하므로, 다음 점검에서도 식·범위·필수 자료를 남긴 채 학생이 밑, 지수, 증가·감소 조건을 먼저 표시하는지 살핀다.