남동구 고등수학과외

말로 세운 조건과 식에 적용한 조건이 다른 순간

합성함수와 역함수를 다룰 때는 “바깥 함수가 허용하는 입력을 안쪽 함수의 출력이 만들 수 있는가”를 먼저 확인해야 한다. 합성에서 제한이 사라지는 경우도 이 기준으로 설명할 수 있다. 예를 들어 f(t)=1/(t−1), g(x)=−x²일 때 f(g(x))를 구한다고 하자. 안쪽 함수 g의 출력 −x²를 바깥 함수 f의 입력 자리에 넣으면 f(g(x))=1/(−x²−1)이다. 이때 분모가 0이 되지 않아야 하므로 −x²−1≠0, 즉 −x²=1이 가능한지를 살펴본다.

이렇게 답해야 하는 문제에서 “x≠±1”이라고 했다면, 숫자를 외운 것인지 실제 식에서 조건을 얻었는지 확인할 필요가 있다. x≠±1은 x²≠1에서 나오는 조건인데, 현재 분모는 x²−1이 아니라 −x²−1이다. 따라서 오답 하나만으로 함수 적용 순서를 혼동했다고 확정하지 않고, “−x²=1을 만족하는 실수가 있는가?”라고 묻는다. 이어 처음 쓴 합성식과 제외한 값을 직접 대조하게 하여, 어느 단계에서 조건이 바뀌었는지 살핀다.

안쪽 출력이 금지된 입력을 실제로 만들 수 있는지 확인하기

합성은 안쪽 함수를 먼저 계산한 뒤 그 결과를 바깥 함수의 입력으로 넣는 과정이다. 그러므로 f의 분모를 0으로 만드는 금지 입력은 t=1이고, g(x)=−x²가 그 값을 만들 수 있는지만 보면 된다. −x²=1은 x²=−1과 같으며 실수에서는 성립하지 않는다. 더 직접적으로 −x²−1은 모든 실수 x에서 항상 음수이므로 0이 될 수 없다. 학생이 x²≥0을 직접 적고 −x²−1≤−1임을 표시하면, 정의역이 제한되지 않는 이유를 계산으로 확인할 수 있다.

교사는 f의 입력 조건 t≠1과 g의 출력 범위를 나란히 보여 주되, 결론을 대신 선택하지 않는다. 학생은 자신이 쓴 식에서 분모를 찾아 0이 되는 값을 표시하고, 그 값이 실제로 g를 거쳐 나오는지 대조한다. 역함수를 함께 공부할 때에도 원래 입력과 출력을 뒤집는다는 정의를 합성의 입력 조건과 섞지 않도록 구분해야 한다. 지금 문제는 역함수를 구하는 문제가 아니라, 안쪽 출력이 바깥 함수의 금지 입력에 도달하는지를 확인하는 문제다.

수정 풀이를 새 조건에 옮겨 같은 기준으로 검산하기

학생이 직접 고친 풀이는 f(g(x))=1/(−x²−1)=−1/(x²+1)이다. x²≥0이므로 x²+1≥1이고 분모는 항상 양수다. 따라서 정의역은 모든 실수이다. 여기서 x=0을 대입하면 원래 식은 −1, 정리한 식도 −1이 되어 부분 검산이 된다. 이 한 번의 대입은 식의 형태가 맞는지 확인하는 데 도움을 주지만, 모든 실수에서 분모가 0이 되지 않는다는 결론은 x²+1≥1이라는 일반적인 근거로 판단한다.

이제 표현만 바꾼 것이 아니라 안쪽 함수의 부호를 실제로 바꾼 경우를 비교한다. f(t)=1/(t−1), g(x)=x²이면 바깥 함수의 입력 조건은 여전히 g(x)≠1이다. 따라서 x²≠1, 즉 x≠−1,1이고 f(g(x))=1/(x²−1)이다. 두 제외값은 g를 거쳐 금지 입력 1로 이동하므로 정의역에서 빠진다. 앞 문제와 기호가 비슷해도 −x²와 x²가 금지 입력을 만들 수 있는지는 달라진다.

마지막에는 설명 자료와 유도 표시를 덮고, 문제와 조건만 남긴 상태에서 처음 오답을 스스로 고치게 한다. 학생은 먼저 안쪽 출력과 바깥 함수의 허용 입력을 적고, 분모가 0이 되는지 계산한 뒤 식과 정의역을 함께 제시한다. 이어 부호를 바꾼 문제에서도 같은 순서를 적용해 풀이와 정답을 대조한다. “−x²=1을 만족하는 실수가 있는가?”에 대한 답과 두 번째 문제의 조건 처리가 모두 맞을 때, 다음 점검에서는 구체적인 입력 하나가 안쪽 함수와 바깥 함수를 거치며 어떻게 이동하는지 두 단계로 적어 본다. 배움노트 고등수학 수업에서도 중요한 것은 제한값을 외우는 일이 아니라, 각 함수의 입력과 출력이 조건에 맞는지 끝까지 확인하는 습관이다.