부평구 고등수학과외

수열의 극한에서는 공비가 음수라는 사실만으로 발산을 결정하면 안 된다. 예를 들어 공비가 -1이면 항이 1, -1, 1, -1처럼 계속 바뀌어 극한이 없지만, 공비가 -1/2이면 부호는 번갈아도 항의 크기는 점점 작아진다. 이 경계값을 먼저 비교해야 배움노트 고등수학 수업에서 다루는 문제의 조건을 정확히 읽을 수 있다.

음의 공비를 보고 발산이라 판단한 이유 확인

문제는 aₙ=(−1/2)^(n−1), n≥1의 극한을 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 “음의 공비라 무조건 발산한다”고 판단한 셈이다. 그러나 이 한 번의 오답만으로 원인을 확정하지 않고, 항이 작아지는 현상과 수렴의 의미를 혼동했는지, 또는 부호가 바뀌는 진동만 보고 크기의 변화를 놓쳤는지 나누어 확인한다. 먼저 “공비의 절댓값 1/2은 항의 크기에 어떤 영향을 주는가?”라고 묻고, 학생이 몇 항을 직접 계산한 뒤 부호와 절댓값을 따로 표시하게 한다.

절댓값과 홀수·짝수 항을 함께 대조하기

수열은 n이 양의 정수로 커질 때의 항을 보는 대상이므로, 단순히 첫 몇 항의 모양만으로 결론 내리지 않는다. 이 식에서는 |aₙ|=(1/2)^(n−1)이고, 공비의 절댓값이 1보다 작으므로 항의 크기가 0에 가까워진다. 부호는 홀수 항과 짝수 항에서 번갈아 나타나지만, 두 부분 모두 같은 0으로 가까워진다. 교사는 공비가 -1/2인 식과 공비가 -1인 식을 나란히 제시하고, 학생이 계산 결과와 그 결과가 조건에 맞는지를 구분해 적게 한다. 이후 학생이 직접 “절댓값이 0으로 가므로 aₙ→0”이라고 수정 풀이를 작성한다.

경계값을 바꾼 문제로 판단을 다시 적용하기

원래 문제의 정답은 0이다. 음수인 하한과 양수인 상한을 사용해 −(1/2)^(n−1)≤aₙ≤(1/2)^(n−1)로 나타낼 수 있고, 양쪽 경계가 모두 0으로 좁혀지므로 aₙ도 0으로 수렴한다. 이는 일부 항을 대입한 결과가 아니라 공비의 절댓값이 1보다 작다는 일반적인 성질에 따른 판단이다. 다음에는 문제와 n≥1이라는 조건만 남기고 풀이·정답·유도 표시를 가린 상태에서 aₙ=(−1)^(n−1)의 극한을 다시 풀게 한다. 이번에는 공비의 절댓값이 1이고 항의 크기가 줄지 않는다. 항이 1, −1, 1, −1로 진동하며, 홀수 항은 1, 짝수 항은 −1에 고정되므로 하나의 극한으로 모이지 않는다. 따라서 정답은 발산이다. 마지막으로 학생이 첫 단계인 “공비의 크기가 1보다 작은가?”와 그 이유를 직접 작성하는지 확인하고, 몇 항의 소수값만 보고 결정하지 않도록 일반항과 홀수·짝수 항을 대조하게 한다.