계양구 고등수학과외

단면 반지름을 구의 반지름으로 본다면

2022 개정 진로 선택 기하에서 공간좌표와 구를 다룰 때는 그림의 겉모양보다 각 좌표가 어떤 조건을 받는지 확인해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서 다음과 같은 문제를 만났다고 하자. 구 x²+y²+z²=25를 평면 z=3으로 자른 단면 원의 중심과 반지름을 구하는 문제다. 이렇게 답했다면 오답은 “구의 반지름과 같으므로 단면 반지름은 5”가 된다. 실제 구의 반지름은 5이지만, 평면으로 잘린 원의 반지름까지 5라고 바로 정할 수는 없다. 한쪽에는 이 오답을, 다른 쪽에는 검산 결과를 놓고 두 값이 왜 달라졌는지 비교해야 한다.

z=3을 대입해 조건을 직접 확인하기

풀이를 곧바로 고치기 전에 “단면에 z=3을 대입하면 x²+y²는 얼마인가?”라고 묻는다. 학생이 먼저 식에 값을 넣어 직접 계산하게 하면, 공간에서 한 좌표가 고정될 때 남은 두 좌표의 관계가 어떻게 달라지는지 확인할 수 있다. z=3을 구의 방정식에 대입하면 x²+y²+3²=25, 따라서 x²+y²=16이다. 여기서 식을 멈추고 다음 줄을 학생이 직접 잇게 한다. 원의 표준형 x²+y²=r²와 비교하면 단면 반지름의 제곱이 16이므로 반지름은 4이다. 구의 반지름 5를 그대로 옮긴 것이 아니라, 중심에서 평면까지의 거리 3이 전체 반지름에 포함된 뒤 남은 길이가 단면의 반지름이 된다.

이때 오답 하나만으로 좌표를 빠뜨렸다고 확정하지 않는다. 평면의 식을 공간에 적용하는 과정에서 z를 놓쳤는지, 25와 5를 혼동했는지, 또는 x²+y²=16에서 반지름을 16으로 읽었는지를 차례로 확인한다. 학생은 원의 표준형에 맞춰 제곱값과 반지름을 표시하고, 중심의 좌표도 평면 z=3과 구의 중심 (0,0,0)을 대조해 적는다. 그러면 단면 원의 중심은 (0,0,3), 반지름은 4라는 수정 풀이가 완성된다.

경계 조건을 바꾸어 다시 적용하기

정답은 중심 (0,0,3), 반지름 4이다. 검산할 때는 구 중심에서 평면까지의 거리 3과 단면 반지름 4의 제곱합을 확인한다. 3²+4²=25이므로 구의 반지름 제곱과 일치한다. 이는 한 수치만 맞춰 보는 계산이 아니라, 공간에서 세 방향 변위의 제곱합으로 거리를 구한다는 원리와도 맞는다.

다음에는 문제와 조건만 남기고 풀이, 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 구 x²+y²+z²=25와 평면 z=6의 교집합을 구하라는 조건을 적은 뒤, 먼저 중심에서 평면까지의 거리와 구의 반지름을 비교하게 한다. z=6을 대입하면 x²+y²=25−36=−11이다. 실수 x,y에 대해 제곱합이 음수가 될 수 없으므로 실수 점이 없고 교집합은 공집합이다. 중심에서 평면까지의 거리 6이 반지름 5보다 크다는 비교도 같은 결론을 뒷받침한다.

학생은 두 문제의 표현만 달라진 것인지, 실제 조건이 달라진 것인지 한 문장으로 적는다. z=3에서는 평면이 구를 잘라 원이 생겼지만, z=6에서는 평면이 구 밖에 있어 만나지 않는다. 이후에는 경계값이나 제외 조건부터 표시하고, 공간 그림에 의존하지 않고 x, y, z의 변화량을 각각 적으며 풀이를 다시 점검한다. 배움노트 고등수학 수업에서 중요한 것은 결과를 외우는 일이 아니라 조건을 식으로 옮기고, 그 식이 뜻하는 값과 주어진 범위를 끝까지 대조하는 습관이다.