연수구 고등수학과외

문제 자료만 책상 위에 남기고 풀이와 정답을 가린 뒤, 다음과 같이 다시 시작한다. “log₂(x−3)이 실수로 정의되는 x를 구하라.” 먼저 답을 보지 않고, 로그의 진수 0은 허용되는가?라는 질문에 말로 답하게 한다. 이렇게 답했다면 “x−3≥0이므로 x≥3”이라고 썼을 수 있다. 이 결론이 맞는지 바로 고치기보다, 왜 등호를 포함했는지 설명하게 하고 x=3을 원래 식에 직접 대입해 표시하게 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 오답 하나만으로 개념을 확정하지 않고, 학생이 조건을 읽고 계산한 뒤 식과 대조하는 과정을 확인한다.

진수 0을 포함한 이유를 질문으로 확인하기

먼저 밑과 진수 중 어느 부분의 조건을 사용했는지 구분한다. “로그의 진수 0은 허용되는가?”, “logₐb=c는 어떤 지수식으로 바꿀 수 있는가?”라고 묻고, 학생이 logₐb=c를 aᶜ=b로 설명하는지 살핀다. 실수 로그에서는 밑 a가 a>0, a≠1이어야 하고 진수 b는 b>0이어야 한다. 따라서 log₂(x−3)에서는 밑 2의 조건은 이미 만족하며, 진수 x−3만 양수여야 한다. 진수가 0이라면 어떤 실수 c를 택해도 2ᶜ=0이 될 수 없으므로 log₂0은 정의되지 않는다. 이 근거를 들은 뒤에도 학생이 곱셈 법칙을 덧셈 법칙처럼 적용하는지, 밑 조건과 진수 조건을 섞는지 추가로 설명하게 한다.

후보를 원래 조건에 대입해 수정 풀이 쓰기

학생이 직접 x−3>0을 적고 양변에 3을 더해 x>3을 얻도록 한다. 그다음 x=3을 부분 검산 대상으로 삼아 log₂0이므로 허용되지 않음을 표시하고, x>3인 경우에는 x−3이 양수이므로 로그의 진수가 조건을 만족한다고 대조한다. 여기서 x=4 같은 한 수를 넣어 log₂1이 정의된다는 점을 확인할 수 있지만, 한 수의 대입만으로 전체 구간을 증명했다고 말하지 않는다. 전체 구간 x>3에서는 항상 x−3>0이라는 부등식의 성질이 성립하므로 정답은 x>3이다. 풀이 마지막에는 “진수는 양수”라는 근거를 학생의 문장으로 다시 적게 한다.

표현이 바뀐 새 문제에서 밑 조건 구별하기

이번에는 문제와 필요한 자료만 남기고 풀이와 정답은 가린 상태에서 “실수 a에 대해 logₐ4가 정의되는 a의 범위를 구하라”를 제시한다. 앞 문제와 로그가 정의되기 위한 기본 조건은 같지만, 이번에는 변수가 진수가 아니라 밑에 있다. 학생은 밑 조건 a>0, a≠1을 먼저 표시하고, 진수 4는 양수이므로 별도의 제한을 만들지 않는다고 적어야 한다. 따라서 정답은 a>0, a≠1이다. a가 0이나 음수이면 밑 조건에 맞지 않고, a=1이면 1의 거듭제곱만으로 4를 만들 수 없어 로그의 밑이 될 수 없다. 풀이를 가린 재적용에서 학생이 기호만 조작하지 않고, 로그를 지수식으로 바꾸어 같은 조건을 설명하는지 확인한다. 다음 점검에서도 문제의 진수와 밑을 직접 표시하고, 각 조건이 어느 부분에서 나왔는지 적게 한다.