인천중구 고등수학과외

예시 답안에 “AA 내부도 2!라며 3!·2!=12.”라고 적혀 있다고 해 보자. 계산식만 보면 순열의 수를 곱한 것처럼 보이지만, 먼저 두 A를 서로 다른 대상으로 취급했는지 확인해야 한다. A,A,B,C 네 글자를 일렬로 놓되 두 A가 이웃하는 문자열 수를 구하는 상황에서는 같은 글자의 구별 여부와 묶음의 자리를 나누어 살펴봐야 한다.

두 A의 순서를 바꾸면 새로운 문자열인가

배움노트 고등수학 수업에서는 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고 다음과 같이 묻는다. “두 A의 내부 순서를 바꾸면 새 문자열인가?” 학생이 두 A를 첫 번째 A, 두 번째 A처럼 따로 표시해 세었다면 같은 대상을 구별해 센 경우일 수 있다. 반대로 반복을 허용하는 선택과 이미 주어진 같은 글자의 배열을 혼동했을 수도 있으므로, 자리의 구별, 반복 허용, 같은 대상의 구별 여부를 각각 확인한다.

두 A가 반드시 이웃해야 하므로 AA를 하나의 묶음으로 본다. 그러면 서로 다른 대상은 AA, B, C 세 개이고, 이 세 대상을 배열하는 방법은 3!이다. 여기서 AA 내부의 두 자리를 바꾸는 2!를 다시 곱하면 같은 문자열을 두 번 세게 된다. 실제로 AA의 내부 순서는 하나뿐이다. 설명은 첫 비교까지만 제시하고, 학생이 3!=6을 직접 적어 계산을 마치도록 한다. 묶음이 놓일 수 있는 세 자리와 B,C의 순서 두 가지로 세어도 3×2=6이라는 점을 나중에 대조할 수 있다.

학생이 중복을 제거하며 수정하기

학생이 먼저 “AA를 하나로 묶고, AA·B·C를 배열하므로 3!=6”이라고 다시 써 보게 한다. 이어서 각 결과를 간단히 나열해 같은 문자열이 반복되는지 표시한다. 예를 들어 AA를 앞, 가운데, 뒤에 놓고 B와 C의 순서를 바꾸면 각각 서로 다른 문자열이 두 개씩 생긴다. 따라서 정답은 6개이며, AA 내부의 두 A를 바꾼 결과는 별도의 문자열이 아니다.

이때 4!/2!를 무조건 적용하는 것과 묶음법은 같은 상황을 세는 서로 다른 표현임을 구분한다. 전체 네 자리에 같은 A가 두 개 있으므로 모든 배열은 4!/2!=12개지만, 두 A가 이웃하는 경우만 따로 세면 AA를 한 덩어리로 만든 3!=6개가 된다. 식의 의미와 조건을 함께 읽어야 하며, 수치 하나를 대입한 결과만으로 일반적인 방법을 외우지는 않는다.

조건을 남긴 채 다시 확인하기

다음에는 문제의 글자와 조건만 남긴다. A,A,B,C 네 글자를 일렬로 놓되 두 A가 이웃하지 않는 문자열 수를 구하되, 풀이와 정답 표시는 가린 상태에서 시작한다. 먼저 학생은 전체 배열을 같은 글자의 중복을 고려해 4!/2!=12로 적고, 이웃하는 배열을 AA 묶음으로 보아 3!=6으로 계산한다. 따라서 이웃하지 않는 배열은 12−6=6개이다.

계산 뒤에는 B,C를 먼저 놓는 다른 방법으로 대조한다. B,C의 순서는 2가지이고, 생긴 세 틈 중 두 틈을 골라 A를 하나씩 넣으면 2·3C2=6이다. 두 방법의 결과가 같아도 공식만 고른 것은 아닌지, 두 A를 구별하지 않았는지, ‘이웃하지 않는다’는 조건을 끝까지 유지했는지를 학생이 직접 표시한다. 다음 점검에서는 같은 조건에서 글자의 순서만 바꾼 경우와 이웃 여부 자체를 바꾼 경우를 나누어, 표현 변경과 조건 변경을 구별하며 풀이를 완성하게 한다.