인천서구 고등수학과외

D=9−4k>0과 k>0을 함께 적용하면 0<k<9/4이다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 이 결론만 외우게 하기보다, 왜 판별식과 근의 부호 조건을 따로 확인해야 하는지 식으로 남기게 한다. 같은 문제를 풀 때 판별식 하나로 범위를 정하면 실근의 종류만 판단한 것인지, 양의 근이라는 추가 조건까지 반영한 것인지 먼저 구분한다.

서로 다른 실근과 양의 근을 나누어 읽기

문제는 실수 k에 대해 x²−3x+k=0이 서로 다른 두 양의 실근을 갖도록 하는 k의 범위를 묻는다. 이때 이차방정식의 계수에서 a=1, b=−3, c=k이고 판별식은 D=b²−4ac=9−4k이다. 서로 다른 두 실근을 위해서는 D>0이므로 k<9/4가 나온다.

하지만 여기서 멈추면 양의 근이라는 조건을 사용하지 않은 셈이다. 예를 들어 이렇게 답했다면, “D>0이므로 k<9/4”라는 판단에서 어느 조건이 빠졌는지 확인한다. 교사는 k=−1일 때 두 근의 곱이 어떤 부호인지 묻고, 학생이 근과 계수의 관계에 따라 합과 곱을 직접 적게 한다. 두 근의 합은 3, 곱은 k이므로 k가 음수이면 두 근의 부호가 서로 달라져 양의 근 둘이 될 수 없다.

빠진 조건을 식으로 고쳐 쓰는 과정

학생은 먼저 판별식 조건을 다시 표시한다. D=9−4k>0이므로 k<9/4이다. 이어 두 근의 곱이 k임을 확인하고, 두 근이 모두 양수이려면 k>0이어야 한다고 적는다. 합이 3으로 양수라는 사실도 함께 대조한다. 따라서 두 조건을 합치면 0<k<9/4이다.

이 판단은 특정 수를 대입해 우연히 확인하는 방식이 아니라, 두 실근의 합과 곱에 대한 일반적인 관계에서 나온다. k=0이면 방정식은 x(x−3)=0이 되어 한 근이 0이므로 양의 근 둘이라는 조건에서 제외된다. k가 음수이면 곱이 음수라 두 근의 부호가 반대이고, k가 9/4이면 D=0이라 서로 다른 두 근이 아니다. 그러므로 정답은 0<k<9/4이며, 각 경계가 제외되는 이유도 함께 검산할 수 있다.

조건을 남긴 채 다른 부호의 근에 다시 적용하기

풀이를 가린 상태에서 문제와 조건만 남겨 독립적으로 다시 시작한다. 이번에는 x²+kx−2=0이 양의 근과 음의 근을 하나씩 갖도록 하는 k의 범위를 구한다. 학생은 먼저 근의 합이 −k, 곱이 −2임을 적고, 실근 조건도 판별식 D=k²+8>0으로 표시한다. k²≥0이므로 D는 모든 실수 k에서 양수이고, 두 근은 항상 서로 다른 실근이다.

이제 곱이 −2로 음수라는 점을 이용하면 두 근은 같은 부호일 수 없으며 어느 근도 0이 아니다. 따라서 한 근은 양수, 다른 한 근은 음수이고, k에는 별도의 제한이 없다. 정답은 모든 실수 k이다. 처음 문제의 표현만 바꾼 것이 아니라 근의 곱 자체가 −2로 바뀌었으므로 결론도 달라진다. 기본 문제를 다시 풀었을 때 답을 기억한 것인지 확인하려면 이처럼 조건이 실제로 달라진 문제를 해결하게 한다. 판별식만으로 결론을 내리려는 흔적이 보이면 근의 합과 곱을 별도 칸에 쓰고, 바뀐 결론을 식으로 표시하게 한다.