가좌동 고등수학과외

합을 맞춘 뒤 사라진 조건 확인하기

“확률변수 X의 값 0, 1, 2의 확률이 각각 0.4, a, 0.8이라고 한다. 가능한 실수 a가 있는지 판단하라.” 이 문제에서 이렇게 답했다면 먼저 계산식보다 조건의 보존 여부를 살핀다. 확률의 합이 1이어야 하므로 0.4+a+0.8=1을 세우면 a=-0.2가 나온다. 여기서 멈추고 유효한 확률분포라고 판단하면, 합 조건은 사용했지만 각 확률이 가져야 할 범위를 놓친 셈이다. 확률은 합만 1이면 되는가? X의 값 0, 1, 2는 확률변수가 취할 값이고, 0.4, a, 0.8은 그 값이 나올 확률이라는 점도 구분해 말해 보게 한다.

다만 이 한 번의 오답만으로 원인을 확정하지 않는다. 학생에게 세 수의 합과 확률의 범위를 각각 표시하게 한 뒤, “a=-0.2는 확률로 가능한가?”, “이미 0.4와 0.8만 더해도 전체 한도를 넘는가?”라고 묻는다. 학생이 확률은 0 이상이어야 한다는 사실을 알고도 a를 단순한 미지수로만 다뤘는지, 아니면 확률변수의 값과 확률을 섞어 생각했는지를 나누어 확인한다.

두 조건을 식과 말로 연결해 수정하기

확률표가 성립하려면 각 확률이 0 이상이어야 하고, 모든 확률의 합이 1이어야 한다. 합 조건만 적용하면 0.4+a+0.8=1, 따라서 a=-0.2이지만, 이 값은 비음수 조건에 어긋난다. 학생이 직접 a=-0.2를 확률의 자리에 다시 써 보고, 0 이상인지 표시하게 한다. 이어 0.4+0.8=1.2>1이라는 부분을 따로 계산하면, 나머지 확률이 비음수인 한 전체 합을 1로 낮출 수 없다는 사실도 확인할 수 있다.

교사는 결론을 바로 주기보다 “합 조건에서 얻은 a가 두 번째 조건도 만족하는가?”를 묻고, 학생이 다음 문장을 완성하게 한다. “a=-0.2는 확률이므로 0 이상이어야 한다는 조건을 만족하지 않으므로 ______.” 학생의 수정 풀이는 0.4+a+0.8=1, a=-0.2, a<0이므로 유효한 확률분포를 만드는 가능한 실수 a가 없다가 된다. 정답은 ‘가능한 a 없음’이다. 이는 특정 수를 대입한 결과만이 아니라, 모든 확률이 비음수여야 한다는 정의와 합 조건을 함께 적용한 결론이다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 식의 결과와 확률의 정의가 충돌하는 지점을 학생의 표시로 남긴다.

조건을 바꾼 문제에서 판단 옮기기

수정 뒤에는 풀이와 정답을 가린 상태로 다음 문제의 내용과 조건만 남긴다. “확률변수 X의 값 0, 1, 2의 확률이 각각 1/4, a, 1/2일 때 실수 a를 구하라.” 학생은 먼저 1/4+a+1/2=1을 세우고 a=1/4를 얻는다. 그 다음 세 확률을 직접 대조해 모두 0 이상인지, 합이 정확히 1인지 확인한다. 이번에는 두 조건을 모두 만족하므로 정답은 1/4이다. 풀이·정답·유도 표시를 보지 않고 문제, 조건, 필요한 수치만으로 시작해야 앞의 문제를 단순히 흉내 낸 것인지 조건을 이해해 옮긴 것인지 드러난다.

이때 숫자만 바뀐 표현 변경과 실제 조건이 달라진 경우를 구별한다. 확률의 합이 1이라는 기준만 보고 답을 고르지 말고, 구한 각각의 값이 0 이상인지와 합이 1인지 순서대로 검사한다. 이후에는 수정 전후 풀이 단계를 섞어 제시해 조건 확인, 합을 이용한 식 세우기, 미지수 계산, 비음수 여부 확인, 전체 합 검산의 순서를 복원하게 한다. 남은 확률이 음수가 되는 표를 다시 판단하게 하면서, 성립하지 않는 이유를 계산값과 정의 양쪽에서 설명하는지 점검한다.