대구중동 고등수학과외

말로 아는 대응과 실제 답의 차이

공통수학2의 합성함수와 역함수에서는 그래프의 점을 읽는 말과 식에 적용한 결과가 같은지 확인해야 한다. 일대일대응 함수 f의 그래프에 점 (2,5)가 있다고 하자. 이는 f(2)=5라는 뜻이다. 이때 역함수의 그래프에서 대응하는 점과 f⁻¹(5)를 묻는다면, 좌표의 부호를 바꾸는 것이 아니라 원래의 입력과 출력을 서로 바꾸어야 한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서도 이런 차이를 한 문장으로 설명한 뒤 실제 기호에 대입해 보게 하는 과정이 중요하다.

이렇게 답했다면 어떨까. “역함수의 대응점은 (−2,−5)이고 f⁻¹(5)=−2이다.” 이 답 하나만으로 부호 계산을 틀렸다고 확정할 수는 없다. 먼저 “역함수는 부호를 바꾸는가, 아니면 입력과 출력의 자리를 바꾸는가?”라고 확인한다. 이어 학생이 처음 적은 식에서 f(2)=5를 직접 표시하고, 자신의 답에 5가 입력으로 들어갔는지 대조하게 한다. 함수 적용 순서를 혼동했는지, 원래 함수의 정의역과 치역을 역함수에서 뒤바꾸었는지도 함께 살핀다.

좌표를 바꾸는 기준을 식으로 세우기

합성함수에서는 안쪽 함수의 출력이 바깥 함수의 입력으로 들어간다. 반면 역함수는 원래 함수의 입력과 출력 대응을 거꾸로 읽는다. 따라서 f(2)=5이면 역함수에서는 f⁻¹(5)=2이고, 그래프의 점은 (5,2)이다. 교사는 원래 점 (2,5)와 역함수의 점 (5,2)를 나란히 제시하되, 학생이 직접 좌표를 화살표로 연결하고 f(2)=5, f⁻¹(5)=2를 다시 적게 한다. 그래프의 대응점은 직선 y=x에 대한 대칭으로 좌표가 교환된다는 점도 함께 확인할 수 있다.

학생이 수정 풀이를 “(2,5)는 f의 점이므로 입력은 2, 출력은 5이다. 역함수에서는 두 값을 교환하므로 대응점은 (5,2), f⁻¹(5)=2이다”라고 적었다면, 단순히 정답을 고친 것보다 근거가 분명하다. 마지막으로 f⁻¹(5)=2를 원래 함수에 넣어 f(2)=5가 되는지 확인하게 한다. 이 검산은 특정 점의 대응을 확인하는 데 알맞으며, 모든 함수에서 자동으로 성립한다고 말하려면 해당 함수가 일대일대응이고 역함수가 정의되어 있다는 조건이 필요하다.

정의역 조건을 포함해 다시 적용하기

같은 기준을 식을 구하는 상황에도 적용해 보자. f:(−∞,0]→[0,∞), f(x)=x²의 역함수를 구하는 경우 y=x²에서 x를 풀면 두 후보 x=√y와 x=−√y가 나온다. 그러나 원래 함수의 입력 조건이 x≤0이므로 선택할 식은 x=−√y이다. 따라서 f⁻¹(x)=−√x이고 정의역은 [0,∞)이다. 실제로 t≤0일 때 f⁻¹(f(t))=−√(t²)=t이므로 원래 입력 조건 안에서만 이 등식이 성립한다. 양의 t까지 넓혀 쓰면 −√(t²)=t라고 할 수 없으므로 정의역을 빼고 답을 적어서는 안 된다.

이후에는 문제의 조건과 필요한 그래프 또는 식만 남기고, 풀이와 정답은 가린 상태에서 다시 시작한다. 학생은 먼저 “역함수의 그래프에서는 원래 입력과 출력을 교환한다”는 근거를 적고, 한 점을 읽는 경우와 역함수의 식을 구하는 경우를 구분한다. 기호만 바꾼 자료에서는 구체적인 입력 하나가 역함수에서 어떻게 이동하는지 두 단계로 쓰게 하고, 정의역 조건이 달라진 자료에서는 제곱근의 부호 선택 근거까지 조정해 적게 한다. 이렇게 배움노트 고등수학 수업에서 같은 기준을 새로운 식과 그래프에 다시 적용하면, 좌표를 막연히 바꾸는 답이 아니라 조건과 검산을 갖춘 풀이로 이어진다.