본리동 고등수학과외

x≠0에서 $\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$에 켤레식을 곱하면 $\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}$이 되어 극한은 $\frac12$이다. 이 결론은 단순히 계산 결과만 외우는 것이 아니라, 어떤 조건에서 식을 바꾸었는지와 바뀐 식이 실제로 무엇을 뜻하는지 확인한 뒤 얻어야 한다.

분자만 0이라고 판단한 풀이에서 빠진 단계

주어진 문제는 $\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$를 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 “분자만 0으로 가는가, 분모도 0으로 가는가?”라고 먼저 묻는다. $x\to0$이므로 분모 역시 0으로 가까워진다. 따라서 분자에 0을 대입했다는 이유만으로 전체 분수의 극한을 0이라고 할 수 없다. $x=0$에서는 원래 식이 정의되지 않지만, 극한은 그 점의 함숫값이 아니라 그 점에 가까운 입력에서의 출력 변화를 보는 개념이다.

또 “분자와 분모에 $\sqrt{1+x}+1$을 곱하면 어떤 등식이 되는가?”라고 확인한다. 학생이 좌우에서 다가갈 때 같은 값이 되는지 살피지 않았다면, 정의역도 함께 표시하게 한다. 제곱근이 있으므로 $x\ge -1$이어야 하고, 원래 분수에서는 $x\ne0$이다. 0의 양쪽에서 접근할 수 있는 구간 안에서 같은 변형이 성립하는지를 직접 확인한다.

켤레식으로 바꾸고 약분할 때의 조건

분자와 분모에 켤레식 $\sqrt{1+x}+1$을 곱하면

$$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1} =\frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)} =\frac1{\sqrt{1+x}+1}$$

이 된다. 이 과정에서 약분한 $x$는 $x\ne0$인 가까운 입력에서만 가능하다. 따라서 원래 식과 변형한 식이 $x=0$에서 같다고 주장하는 것이 아니라, 0에 충분히 가까우면서 0이 아닌 범위에서 같은 값을 갖는다고 말해야 한다. 또한 $x\ge-1$에서 $\sqrt{1+x}\ge0$이므로 $\sqrt{1+x}+1>0$이다. 변형한 분모는 0이 되지 않으며 $x\to0$일 때 2로 간다.

학생은 교사의 설명을 듣고 “$x\ne0$에서 원래 식은 $\frac1{\sqrt{1+x}+1}$과 같고, 이 분모의 극한은 2이므로 전체 극한은 $\frac12$”라고 직접 적는다. $x=0$에서 원래 식을 대입할 수 없다는 사실과, 가까운 점에서 변형한 식의 값이 $\frac12$로 가까워진다는 사실을 나누어 기록하면 함숫값과 극한의 혼동도 줄어든다.

표현을 바꾼 문제로 다시 확인하는 과정

대표 문제와 풀이·정답·유도 표시를 가린 뒤, 문제와 조건만 남겨 다시 시작한다. 근호가 있는 차를 유리화하는 방법은 유지하되 질문을 바꾼다. 실수 $a$에 대해 $\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1-ax}{x}=0$이 되도록 $a$를 구하라. 이때 $x\ge-1,\ x\ne0$에서 계산한다.

학생은 먼저 같은 유리화를 적용해 식을 $\frac1{\sqrt{1+x}+1}-a$로 바꾼다. 따라서 극한은 $\frac12-a$이고, 이것이 0이 되려면 $a=\frac12$이다. 마지막으로 $a=\frac12$를 대입해 $\frac1{\sqrt{1+x}+1}-\frac12\to0$인지 확인한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 대입만으로 끝내지 않고, 유리화한 식의 성립 조건과 분모가 양수라는 근거까지 학생이 직접 표시하게 한다. 다음 점검에서는 대표 문제의 정답을 보이지 않은 상태에서 계산 결과와 조건을 각각 적는지, 표현만 달라진 문제와 실제 조건이 달라진 문제를 구별하는지 확인한다.