신현동 고등수학과외

“네 값은 9/4, 1/4, 1/4, 9/4. 최솟값은 1/4.” 이렇게 정리했다면 계산 결과는 정확하다. 하지만 처음부터 이 값을 얻은 것은 아니다. 이차함수의 꼭짓점만 보고 답을 정하는 습관이 정수 정의역에서 어떤 오류를 만드는지 거슬러 확인해야 한다.

꼭짓점의 값이 허용되는지 먼저 묻기

문제는 정수 x∈{0,1,2,3}에서 f(x)=(x−3/2)²의 최솟값을 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 “x=3/2에서 0”이라고 썼을 가능성이 있다. 식 자체만 보면 꼭짓점은 (3/2, 0)이지만, 입력값 3/2는 주어진 정수 집합에 속하지 않는다. 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, “꼭짓점이 정수 집합에 속하는가?”라고 확인한다. 꼭짓점은 언제나 답이라고 생각했는지, 정수만 허용한다는 조건을 읽고도 후보를 바꾸지 못했는지를 구분해 본다.

허용된 네 점을 직접 표시하고 비교하기

정수 정의역에서는 먼저 꼭짓점의 입력이 허용되는지 확인한 뒤, 3/2와 가까운 허용 정수 1과 2를 표시한다. 그래도 두 점만 보고 끝내지 않고 유한한 정의역의 네 입력을 모두 대입한다. 학생이 직접 f(0)=9/4, f(1)=1/4, f(2)=1/4, f(3)=9/4를 계산해 등식으로 적게 한다. 따라서 최솟값은 1/4이고, 그때의 x는 1 또는 2이다. 연속 구간 [0,3]에서라면 x=3/2가 허용되어 최솟값 0이 되지만, 이 문제의 정수 집합에서는 그 결과를 사용할 수 없다. 수직선에 꼭짓점 3/2와 허용 입력 0, 1, 2, 3을 함께 놓으면 두 정의역의 차이도 분명해진다.

조건이 달라진 절댓값 함수에 다시 적용하기

다음에는 기본 문제의 풀이와 정답을 보이지 않은 채, 문제와 조건만 남겨 시작한다. f(x)=|x²−1|, −2≤x≤2의 최솟값과 그때의 x를 구하고, 경계값이나 제외 조건부터 표시하게 한다. 이번에는 정수 입력으로 제한된 것이 아니라 구간 전체가 허용되므로 조건이 달라졌고, 식에도 절댓값이 붙었다는 점을 한 문장으로 쓰게 한다. 절댓값은 항상 0 이상이므로 안쪽 식 x²−1=0이 되는 x=−1, 1을 먼저 찾는다. 두 입력은 주어진 구간에 속하고 f(−1)=f(1)=0이므로 최솟값은 0이다. 0보다 작은 값은 나올 수 없고 실제로 0을 달성하므로 검산도 성립한다. 다만 이 결론을 모든 절댓값 함수에 적용하는 꼭짓점 법칙으로 일반화하지 않는다. 같은 표현의 변경과 실제 정의역 조건의 변경을 나누어 살펴야 한다. 다음 배움노트 고등수학 수업 학습에서는 꼭짓점을 무조건 답으로 고르기 전에 구간과 허용 입력을 한 수직선에 놓고, 새 문제에서 무엇이 달라졌는지 직접 적게 한다.