광주송정동 중등수학과외

양의 약수가 1, 2, 4, 8, 16의 다섯 개뿐인 자연수 N을 소인수분해하고 서로 다른 소인수의 개수를 구하는 문제로 수업을 시작했다. 학생은 약수 목록을 보고 가장 큰 수가 원래 수 N이라는 점은 바로 표시했지만, 소인수의 종류와 반복 횟수를 구분하는 기준은 말로 정리하지 못했다. 교사는 “가장 큰 약수는 무엇인가?”라고 묻고, 학생이 N=16을 먼저 적는지 확인했다. 이 문제는 수에서 약수를 만들어 가는 방향이 아니라, 주어진 약수 목록에서 원래 수를 찾아 소인수분해하는 방향으로 바뀌었다는 점이 핵심이다.

약수 목록에서 먼저 확인한 16

학생은 가장 큰 약수 16을 원래 수로 정하고 N=16이라고 썼다. 이어 16을 2로 나누어 16=2×8, 8=2×4, 4=2×2로 적었지만, 마지막에 “소인수는 2, 2, 2, 2이므로 네 종류”라고 말하려 했다. 여기서 교사는 계산 자체를 대신 고치지 않고 “반복해서 나온 2가 서로 다른 값인가?”라고 물었다. 학생이 “값은 모두 2”라고 답하면 종류를 세는 기준을 알고 있는지 확인할 수 있고, 기준은 맞게 말하면서 답만 다르게 적었다면 나눗셈 과정을 한 줄씩 다시 살핀다.

이 장면만으로 학생이 소인수분해 개념 전체를 모른다고 단정하지 않는다. 16을 2의 곱으로 바꾸고 약수의 개수를 세는 출발점은 맞았기 때문이다. 다만 같은 소수가 몇 번 나왔는지를 나타내는 반복 횟수와, 어떤 소수가 사용되었는지를 나타내는 종류를 한 문장 안에서 섞었다. 광주송정동중등수학과외 수업에서는 학생이 적은 식 옆에 ‘종류’와 ‘횟수’를 따로 표시하게 하여 말로 아는 기준과 실제 답안의 표현을 나누어 확인한다.

36에서 종류와 지수를 분리해 다시 쓰기

교사는 같은 판단이 다른 수에서도 유지되는지 확인하기 위해 조건을 바꾸지 않은 대표 문제를 제시했다. “36을 소인수분해하고 서로 다른 소인수와 양의 약수의 개수를 구하자.” 학생은 처음에 “소인수는 2,2,3,3으로 네 종류이다”라고 작성했다. 36을 2×2×3×3으로 분해한 계산은 맞았지만, 서로 다른 값의 개수를 세는 순간에 오류가 생겼다.

교사는 한 단계만 시범으로 보였다. 같은 2끼리 묶고 같은 3끼리 묶으면 36=2²×3²가 된다. 여기서 밑 2와 3은 소인수의 종류이고, 위의 지수 2와 2는 각각의 반복 횟수다. 설명 뒤에는 학생이 직접 두 기준을 나누어 말하게 했다. 학생은 “서로 다른 소인수는 2와 3이고, 두 소수가 각각 두 번 반복되었다”고 정리한 다음, 약수 개수를 (2+1)(2+1)=9로 계산했다. 교사는 약수 개수 공식만 다시 읽어 주지 않고, 지수에서 0부터 2까지 선택할 수 있다는 뜻을 학생이 설명하게 했다.

수정 풀이와 다른 방식의 검산

학생이 고쳐 쓴 답안은 다음과 같다. 36=2²×3², 서로 다른 소인수는 2, 3, 양의 약수의 개수는 (2+1)(2+1)=9개이다. 처음 풀이와 달라진 부분은 2와 3을 값별로 한 번씩만 세고, 반복 횟수는 지수로 따로 나타낸 점이다. 답을 그대로 다시 곱하는 대신 약수 목록을 직접 만들어 검산했다. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36을 세면 모두 9개이고, 소인수분해식을 계산하면 2²×3²=4×9=36이므로 원래 수와도 일치한다.

이제 처음 제시한 문제로 돌아가면, 학생은 목록의 가장 큰 수를 찾아 N=16=2⁴로 적는다. 2가 네 번 반복되지만 서로 다른 소인수는 2 하나뿐이라는 점도 분리해 설명한다. 2⁴의 약수는 지수 0, 1, 2, 3, 4를 선택해 1, 2, 4, 8, 16이 되므로 주어진 목록과 정확히 맞는다. 다음 문제에서는 학생이 소인수의 종류와 지수로 나타낸 반복 횟수를 먼저 나누어 적고, 교사는 두 기준을 섞지 않고 설명하는지 확인한다.

다음 적용에서 스스로 고를 기준

다음 수업에서는 같은 대표 문제를 문제와 조건만 다시 제시하고, 학생의 오답과 수정 풀이 및 정답은 가린다. 학생은 양의 약수가 1, 2, 4, 8, 16뿐인 자연수 N을 보고 가장 큰 약수가 N이라는 근거를 적은 뒤, 16=2⁴로 소인수분해하고 서로 다른 소인수의 개수를 답해야 한다. 교사는 필요할 때 “같은 2끼리 묶고 서로 다른 값만 남겨 보자”라는 한 관계만 되짚는다. 도움 없이도 학생이 종류와 반복 횟수를 따로 표시하고, 약수의 다섯 선택이 2⁴의 지수 0부터 4까지에 해당한다고 설명하는지를 확인한다.