선암동 중등수학과외

“6x−9−2x+8=4x−1”이라는 답안에서 시작한 확인

새 문제는 A=2x−3, B=x+4일 때 2B−3A를 간단히 하는 것이다. 다만 이 문제를 바로 풀기 전에 학생이 이전에 남긴 답안 “6x−9−2x+8=4x−1”을 책상 위에 놓고, 식을 옮기는 순간 어떤 판단이 달라졌는지 확인했다. 선암동중등수학과외 수업에서는 정답만 고치는 대신, 학생이 말로 설명한 기준과 실제로 적은 계산이 같은지 나란히 대조한다.

비교할 대표 문제는 A=2x−3, B=x+4일 때 3A−2B를 x의 식으로 나타내는 것이다. 학생은 3A를 6x−9로 바르게 바꾸었고, −2x를 적은 것도 맞았다. 처음 달라진 부분은 B의 상수항 +4에 −2를 곱하는 자리였다. 학생은 −2B를 −2x+8처럼 적어 상수항의 부호를 바꾸지 못했다.

교사는 “−2B에서 −2×4의 부호는 무엇이지?”라고 짧게 물었다. 학생은 말로는 “음수와 양수를 곱하니 음수”라고 답했지만, 답안에는 +8이 남아 있었다. 따라서 개념을 모른다고 단정하지 않고, 설명한 기준과 실제 옮겨 쓴 계산이 어긋났는지 먼저 확인했다. 이때 교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고, B의 두 항을 괄호 안에 다시 표시했다.

−2를 두 항에 부호째 분배하기

교사는 “−2가 괄호 안의 두 항에 각각 곱해진다고 써 보자”라고 안내했다. 학생은 3(2x−3)−2(x+4)를 다시 적고, 먼저 3을 분배하여 6x−9를 만들었다. 이어 −2를 x와 +4에 각각 곱해 −2x−8이라고 직접 고쳐 썼다. +4에도 −2가 곱해지므로 −8이 된다는 한 단계만 제공하고, 그 뒤의 동류항 계산은 학생이 이어서 처리하게 했다.

수정된 식은 3(2x−3)−2(x+4)=6x−9−2x−8이다. x항끼리 모으면 6x−2x=4x이고, 상수항은 −9−8=−17이므로 4x−17이 된다. 처음 풀이와 달라진 곳은 −2B를 전개한 뒤의 상수항이다. 학생은 수정한 줄 아래에 “−2×(+4)=−8”을 따로 적어, 부호를 확인한 근거를 남겼다.

검산은 같은 전개를 반복하지 않고 x=0을 대입하는 방식으로 진행했다. 이때 A=2×0−3=−3, B=0+4=4이다. 원래 식에 대입하면 3A−2B=3(−3)−2(4)=−9−8=−17이고, 수정한 결과식 4x−17에도 x=0을 넣으면 −17이다. 두 값이 일치하므로 수정된 상수항이 원래 조건과 맞는지 확인할 수 있다.

뺄셈 순서를 바꾼 새 조건과 반대수 확인

새 적용 문제에서는 두 배수의 뺄셈 순서를 바꾼다. A=2x−3, B=x+4일 때 2B−3A를 간단히 하라는 조건이다. 앞에서 확인한 문제와 A, B의 식은 그대로지만, 3A−2B가 아니라 2B−3A가 되었으므로 각 괄호에 붙는 배수와 뺄셈의 위치를 먼저 확인해야 한다.

학생은 2B−3A=2(x+4)−3(2x−3)으로 옮겨 적고, 2를 두 항에 분배하여 2x+8을 만들었다. −3을 분배한 결과는 −6x+9이므로 전체 식은 2x+8−6x+9이다. 따라서 x항은 −4x, 상수항은 17이 되어 −4x+17이다. 공통 원리는 괄호 안의 모든 항에 배수를 부호째 곱하는 것이고, 달라진 조건은 두 배수의 뺄셈 순서다.

마지막으로 x=0을 대입하면 새 식은 17이 된다. 앞의 식 3A−2B의 결과는 −17이므로 두 결과의 합은 0이다. 이는 2B−3A가 3A−2B의 반대수인지 확인하는 방법이다. 다음 문제에서 학생은 대표 문제의 자료를 그대로 사용하되 기존 풀이와 정답을 가린 상태에서, −2를 B의 두 항에 부호째 분배하고 조건에 맞는지 설명한 뒤 식을 완성해야 한다. 교사는 학생이 “−2×(+4)=−8”을 실제 계산에 남기고, 풀이 후 x=0 대입 결과까지 스스로 대조하는지를 확인한다.