신가동 중등수학과외

학생은 0≤x<7인 정수 x 중 2x+1<10을 만족하는 수와 개수를 구하는 문제를 풀며 답안에 “2x<9이므로 x<4.5, 따라서 x≤5”라고 적었다. 교사는 계산식의 앞부분과 마지막 판단을 나란히 놓고 물었다. “5를 원식에 넣으면 참일까?” 학생은 처음에는 5가 4.5보다 큰지 바로 확인하지 않고, 4.5를 반올림하면 5가 된다는 식으로 설명했다. 이때 신가동중등수학과외 수업에서는 말로 알고 있는 비교와 실제 풀이에서 선택한 정수를 구분하기 위해, 학생의 설명과 첫 오답 계산이 어디에서 달라지는지 함께 표시한다.

2x+1<10에서 처음 달라진 판단

학생이 먼저 한 식 변형은 맞았다. 양변에서 1을 빼면 2x<9이고, 양변을 2로 나누어 x<4.5를 얻은 과정에는 문제가 없다. 달라진 지점은 그다음이었다. x가 정수라는 조건에서 4.5보다 작은 정수의 가장 큰 값을 찾아야 하는데, 학생은 경계를 반올림하여 x≤5라고 썼다. 교사는 “5를 원식에 넣어 보자”라고 짧게 묻고, 학생이 직접 2×5+1을 계산하도록 기다린다. 5를 대입하면 11이므로 11<10은 거짓이다. 따라서 오답 하나만 보고 곧바로 특정 개념을 모른다고 단정하지 않고, 학생이 정수 조건을 놓친 것인지, 아니면 경계에서 반올림하는 습관 때문에 선택했는지를 대입 결과와 설명을 맞추어 확인한다.

반올림하지 않고 가까운 정수를 대입하기

교사는 풀이 전체를 다시 말해 주지 않고 한 문장만 제시한다. “정수 상한은 반올림이 아니라 부등식을 만족하는 최대 정수야.” 그런 다음 4와 5를 답안 여백에 적어 주고, 어느 값이 실제 조건을 만족하는지는 학생이 직접 고르게 한다. 학생은 4를 대입하여 2×4+1=9, 즉 9<10임을 확인하고, 5를 대입하여 2×5+1=11, 즉 11<10이 거짓임을 확인한다. 이후 풀이를 스스로 다시 쓴다. 2x+1<10
2x<9
x<4.5이고, 주어진 범위 0≤x<7에서 이 조건을 동시에 만족하는 정수는 0, 1, 2, 3, 4이다. 그러므로 정수해는 5개이다. 처음 풀이와 달라진 점은 x<4.5를 반올림하여 x≤5로 바꾸지 않고, 경계에 가까운 정수를 원식에 직접 대입해 선택했다는 것이다.

대입과 범위 대조로 답 확인하기

검산은 같은 식을 기계적으로 반복하지 않고 경계의 양쪽을 대조하는 방식으로 진행한다. 가장 큰 후보인 x=4는 9<10을 만족하지만, 바로 다음 정수 x=5는 11<10을 만족하지 않는다. 따라서 4가 허용되는 마지막 정수라는 근거가 생긴다. 반대쪽에서는 x=0이 실제로 주어진 범위에 포함되고 2×0+1=1이므로 조건도 만족한다. 이렇게 상한 쪽의 탈락과 하한 쪽의 포함을 각각 확인하면, 단순히 정답 5개를 세는 것보다 범위와 부등식의 공통 부분을 정확히 확인할 수 있다.

음수와 등호가 들어간 새 조건

이제 허용 범위를 −2≤x<4로 바꾸고, 부등호에 등호를 포함한 문제를 제시한다. “−2≤x<4인 정수 x 중 2x+1≤5인 수를 모두 구하라.” 학생은 먼저 계산 부분을 혼자 정리하여 2x≤4, 따라서 x≤2라고 쓴다. 원래 계산에서 유지되는 원리는 부등식을 풀어 얻은 해와 문제에서 정한 구간의 공통 정수만 고르는 것이다. 달라진 조건은 음수도 범위에 들어오며, 경계값 2가 등호 때문에 허용된다는 점이다. 그러므로 −2≤x<4와 x≤2를 함께 만족하는 정수는 −2, −1, 0, 1, 2이고 모두 5개이다. x=2를 대입하면 5≤5로 참이며, 다음 정수 x=3은 7≤5로 거짓이다. 다음 수업에서는 풀이가 가려진 원래 문제를 학생이 도움 없이 다시 완성하고, 가까운 정수 경계를 직접 대입한 뒤 그 선택 근거를 말하게 한다. 교사는 정답뿐 아니라 4와 5의 대입 결과, 그리고 0이 범위에 포함된다는 표시를 남겼는지 확인한다.