신룡동 중등수학과외

학생 앞에는 “18분과 24분마다 울리는 두 신호가 오전 9시에 함께 울렸다. 그 뒤 처음 함께 울리는 시각은?”이라는 문항과 학생이 적은 “72분 뒤는 오전 10시 72분이다.”라는 답안이 나란히 놓여 있다. 교사는 곧바로 정답을 말하지 않고 “이 시각이 문제의 조건을 만족할까?”라고 묻는다. 신룡동중등수학과외 수업에서는 학생이 계산한 수와 실제 시각을 연결하는 순간을 분리해 확인한다. 18분과 24분의 공통 주기를 찾으려 한 점은 맞지만, 분 단위 결과를 시계의 표현으로 옮기는 마지막 판단에서 멈춘 것이다.

18과 24의 공통 주기를 먼저 확인하기

교사는 학생의 첫 풀이를 보고 “72분에서 한 시간을 뺀 나머지는?”이라고 짧게 질문한다. 학생이 12분이라고 답한다면, 72분을 계산하지 못한 것이 아니라 분을 시각으로 바꾸는 과정에서 중복이 생겼는지 확인할 수 있다. 반대로 72분이라는 수를 다시 계산하려 한다면, 교사는 “처음 함께 울리는 간격을 어떻게 정했지?”라고 물어 18과 24의 공통 배수를 찾은 과정과 시각 환산 과정을 나누어 말하게 한다. 질문에 대한 설명과 처음 적은 답안을 나란히 비교하되, 서로 달라지는 첫 지점까지만 확인한다.

필요한 설명은 한 단계로 제한한다. 18과 24를 소인수로 나타내면 18=2×3², 24=2³×3이다. 각 소인수의 가장 큰 지수를 사용하면 최소공배수는 2³×3²=72분이다. 교사는 여기서 풀이 전체를 대신 쓰지 않고, “72분=60분+12분으로 나누어 보자”라고만 제시한다. 이제 학생이 시작 시각에 1시간 12분을 직접 더하도록 한다.

오전 9시에 1시간 12분 더하기

학생은 가린 풀이 부분을 다시 채우며 “오전 9시에서 60분을 더하면 오전 10시이고, 남은 12분을 더하면 오전 10시 12분”이라고 적는다. 수정된 식은 오전 9시+1시간 12분=오전 10시 12분이다. 따라서 처음 함께 울리는 시각은 오전 10시 12분이다. 처음 풀이에서는 72분을 구한 뒤 시각을 “10시 72분”으로 적었지만, 수정 풀이에서는 60분을 1시간으로 묶고 남은 12분만 분 자리에 남겼다는 차이가 분명하다. 교사는 학생에게 답만 읽게 하지 않고, “왜 72를 그대로 분 자리에 쓰지 않았는지”를 자신의 식을 가리키며 설명하게 한다.

검산은 같은 계산을 반복하지 않는 방식으로 진행한다. 72÷18=4이므로 18분 신호는 네 번 뒤에 울리고, 72÷24=3이므로 24분 신호는 세 번 뒤에 울린다. 또 18의 양의 배수인 18, 36, 54는 24의 배수가 아니므로 72분보다 이른 공통 시점은 없다. 학생은 이 검산을 통해 72분이라는 주기가 맞는지 확인한 뒤, 오전 10시 12분이 시작 시각에서 실제로 72분 뒤인지 조건과 대조한다.

한 번이 아닌 구간 전체의 동시 신호

조건을 바꾸어 10분, 15분마다 울리는 두 신호가 오전 9시에 함께 울렸다고 하자. 이번에는 처음 한 번을 찾는 대신 오전 9시를 포함하고 오전 10시는 포함하지 않는 구간에서 함께 울리는 시각을 모두 구한다. 공통 주기는 최소공배수인 30분이다. 따라서 오전 9시에 한 번 울리고, 30분 뒤인 오전 9시 30분에 다시 함께 울린다. 오전 10시는 다음 동시 신호이지만 끝 시각을 제외하므로 목록에 넣지 않는다.

다음 수업에서는 원래 18분과 24분 문제의 조건은 그대로 둔 채 풀이 부분만 가린 자료를 제시한다. 학생이 72분을 구한 뒤 72분=60분+12분으로 나누고, 시작 시각에 1시간 12분을 더하는 행동을 도움 없이 수행하는지 확인한다. 이어 “왜 오전 10시 72분이 아닌가?”를 설명하게 하며, 72÷18=4, 72÷24=3이라는 검산으로 원래 조건을 만족하는지 스스로 확인하는지를 기록한다.