첨단2지구 중등수학과외

수업은 “직각삼각형의 외접원 반지름이 7cm일 때 빗변의 길이는 얼마인가?”라는 질문으로 시작한다. 첨단2지구중등수학과외에서는 학생이 곧바로 7×2를 계산하기 전에, 직각삼각형에서 외심과 빗변이 어떤 관계를 이루는지 먼저 말하고 그림에 표시하게 한다. 학생은 “반지름이 주어졌으니 지름을 구하면 된다”고 적었지만, 그 이유를 설명하는 문장은 남기지 않았다. 교사는 이 적용 문제의 답만 보고 판단하지 않고, 비교할 대표 문제에서 외심의 위치를 어떻게 처리했는지 확인하기로 한다.

외심을 삼각형 안에만 놓은 첫 판단

∠A=90°인 삼각형 ABC에서 BC=10cm이고, BC의 중점을 O라 할 때 OA, OB, OC를 구하는 문제를 제시한다. 학생은 “O는 변 위에 있으므로 외심이 아니다”라고 먼저 작성했다. 그러나 BC의 중점을 찾은 부분 자체는 조건을 읽고 표시한 행동이므로 맞게 처리한 부분으로 인정한다. 달라진 지점은 외심이 삼각형 내부에 있어야 한다고 판단한 순간이다.

교사는 짧게 묻는다. “직각삼각형의 외심은 어디에 있지?” 학생은 말로는 “빗변의 중점”이라고 답했지만, 종이에 적은 결론은 여전히 외심이 아니라고 되어 있었다. 그래서 말로 알고 있는 기준과 실제 풀이에 옮긴 판단을 나란히 대조한다. 두 내용이 다르다는 점만 확인하고, 이를 계산 능력이나 개념 전체의 문제라고 단정하지 않는다.

빗변의 중점이라는 한 단계의 설명

교사는 대표 문제의 도형에서 BC를 빗변으로 표시하고, O가 그 중점이라는 조건에 밑줄을 긋는다. 이어 “외심은 항상 삼각형 안에 있어야 할까?”라고 묻고, 직각삼각형에서는 외심이 빗변의 중점 위에 놓일 수 있다는 관계만 설명한다. 외심이 변 위에 있다는 이유만으로 외심이 아니라고 결론 내리면 안 되며, 도형의 종류와 주어진 조건을 함께 확인해야 한다는 범위까지만 시범을 보인다.

그다음 계산은 학생이 직접 이어 쓴다. 학생은 “직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이다”라고 고쳐 적고, BC=10cm이므로 중점 O에서 B까지의 길이와 O에서 C까지의 길이는 각각 10÷2=5cm라고 계산한다. 외심의 정의에 따라 세 꼭짓점까지의 거리가 같으므로 OA=OB=OC=5cm라는 결론을 완성한다. 처음 풀이와 달라진 부분은 O가 변 위에 있다는 사실을 외심이 될 수 없는 근거로 사용하지 않고, 직각삼각형의 빗변 중점이라는 조건으로 판단한 점이다.

계산을 반복하지 않는 원의 관계 검산

정답을 확인할 때 10÷2를 다시 계산하는 데 그치지 않는다. O를 중심으로 반지름 5cm인 원을 그린다고 생각하면 B와 C는 그 원 위에 있고, 직각삼각형의 빗변 중점 정리에 따라 A도 같은 원 위에 놓인다. 따라서 OB=OC=BC/2=5cm이며 OA 역시 5cm가 된다. 이 검산은 세 길이를 단순히 다시 더하는 방식이 아니라, 세 꼭짓점이 하나의 외접원 위에 있다는 조건과 도형의 관계를 대조하는 방법이다.

학생은 이제 대표 문제의 자료를 보면서도 처음 적은 오답과 수정 답을 가린 상태에서 풀이를 다시 시작한다. 먼저 “직각삼각형이므로 외심은 빗변의 중점”이라고 조건을 적고, 그 뒤에 중점까지의 거리를 계산한다. 교사는 필요한 경우 “외심 위치를 확인했으니, 이제 BC의 길이와 O까지의 거리를 연결해 봐”라고 한 문장만 덧붙인다. 나머지 식과 답은 학생이 직접 쓰게 하며, 마지막에 원 위의 세 점이라는 검산 근거를 스스로 대조하게 한다.

반지름에서 빗변을 찾는 적용

처음 제시한 새 문제로 돌아오면 조건의 방향이 바뀐다. 대표 문제에서는 빗변 10cm로부터 외접원 반지름 5cm를 찾았지만, 이번에는 외접원 반지름 7cm에서 빗변을 찾아야 한다. 유지되는 원리는 직각삼각형의 외심이 빗변의 중점이고, 빗변은 외접원의 지름이라는 점이다. 학생은 반지름을 두 배로 하여 7×2=14cm라고 풀이한다.

검산할 때는 빗변의 중점을 표시하고 그 점에서 빗변의 양 끝까지를 각각 재어 본다. 길이가 14cm라면 중점에서 양 끝까지의 거리는 14÷2=7cm가 되어 외접원의 반지름과 일치한다. 다음 문제에서는 숫자를 먼저 계산하지 않고, 직각삼각형인지와 외심의 위치가 빗변의 중점인지부터 적은 뒤 반지름과 빗변 중 어느 방향을 묻는지 구분하게 한다. 교사는 학생이 도움 없이 이 두 조건을 표시하고, 계산 결과가 반지름 7cm와 중점 관계에 맞는지 말로 설명하는지를 확인한다.