신창동 중등수학과외

자료 2, 4, 4, 7, 9, 10에 100 한 개를 추가했을 때 중앙값을 구하는 문제로 수업을 시작했다. 신창동중등수학과외 수업에서는 학생이 숫자를 계산하기 전에 자료의 개수와 가운데 위치를 먼저 표시하도록 했다. 100을 추가하면 자료는 모두 일곱 개가 되고, 정렬된 값은 2, 4, 4, 7, 9, 10, 100이다. 홀수 개 자료에서는 가운데 한 자리만 찾으므로 네 번째 값인 7이 중앙값이다. 학생은 처음에 4와 7을 함께 보려 했지만, 자료 수가 짝수에서 홀수로 바뀌었다는 조건은 표시하지 않았다.

일곱 개 자료에서 가운데 위치가 바뀌는 장면

교사는 학생에게 “자료가 일곱 개일 때 가운데 값은 몇 번째일까?”라고 물었다. 학생이 네 번째라고 말하자, 교사는 “그럼 두 값을 더해야 할까?”라고 이어서 질문했다. 학생이 4와 7을 더하려는 모습을 보인 뒤에야, 이번 문제에서는 짝수 자료의 두 가운데 값이 아니라 홀수 자료의 한 가운데 값을 고르는지 확인할 수 있었다. 100은 정렬했을 때 가장 끝에 들어가므로 네 번째 위치 자체를 밀어내지 않는다. 따라서 이 새 조건에서는 네 번째 값 7을 답으로 남겨 둔다.

2, 4, 4, 7, 9, 10에서 처음 달라진 판단

비교할 대표 문제는 자료 9, 2, 7, 4, 4, 10의 중앙값을 구하는 것이다. 학생은 처음에 중앙값 = 4 + 7 = 11이라고 적었다. 정렬되지 않은 상태에서 두 가운데 숫자를 찾아낸 것은 아직 확인이 필요하지만, 4와 7을 선택한 판단 자체는 자료를 정렬한 뒤에는 맞았다. 실제로 작은 수부터 배열하면 2, 4, 4, 7, 9, 10이므로 가운데 두 값은 네 번째 7이 아니라 세 번째 4와 네 번째 7이다.

교사는 “두 값의 가운데가 두 값보다 클 수 있을까?”라고 짧게 물었다. 학생이 두 값 사이에 있어야 한다는 기준을 바로 말하지 못한다면 중앙값의 위치와 의미를 다시 확인한다. 반대로 4와 7 사이에 있어야 한다는 기준은 알고 있는데 11이라고 썼다면, 원인을 개념 전체로 단정하지 않고 계산 과정을 한 줄씩 살핀다. 이 장면에서는 학생이 두 가운데 값의 합을 답으로 옮긴 것이 처음 달라진 판단이었다.

합에서 평균으로 고쳐 쓰기

교사는 정렬된 자료를 다시 적고, 가운데 두 값 4와 7을 괄호로 묶은 뒤 한 단계만 시범을 보였다. 짝수 개 자료의 중앙값은 가운데 두 값의 평균을 구하므로 합을 2로 나눈다. 설명을 들은 뒤의 계산은 학생이 직접 이어서 작성하게 했다.

2, 4, 4, 7, 9, 10
가운데 두 값은 4와 7
중앙값 = (4 + 7) ÷ 2 = 11 ÷ 2 = 5.5

처음 풀이에서는 4와 7을 더한 11에서 멈췄지만, 수정 풀이에서는 합을 구한 뒤 자료 개수에 맞는 평균 계산을 한 줄 더 적었다. 답을 다른 방식으로 확인하기 위해 정렬된 자료와 5.5의 위치도 대조한다. 앞의 세 값 2, 4, 4는 모두 5.5 이하이고, 뒤의 세 값 7, 9, 10은 모두 5.5 이상이다. 5.5가 가운데 두 값 4와 7 사이에 있으므로 중앙값의 위치 조건도 맞는다.

조건을 바꾼 뒤 스스로 고르는 기준

마지막에는 처음의 짝수 자료를 다시 제시하되 오답과 수정 풀이를 가리고, 학생이 정렬과 가운데 위치를 직접 적게 한다. 교사는 “가운데가 한 자리인지 두 자리인지 먼저 확인해 보자”라는 관계만 필요할 때 되짚고, 다음 줄의 계산은 학생이 결정하게 한다. 다음 적용 문제에서는 자료 2, 4, 4, 7, 9, 10에 100을 추가한 일곱 값의 중앙값을 구하게 한다. 학생이 100을 끝에 배치하고 네 번째 값 7을 선택하는지, 짝수 자료처럼 두 수를 더하지 않는지 확인한다. 정답만 말하는 것이 아니라 자료 수와 가운데 위치를 표시한 근거를 함께 남기는지를 다음 확인 지점으로 삼는다.