월곡동 중등수학과외

수업의 첫 장면에서 교사는 빨간 공 3개와 파란 공 2개를 한 번 뽑은 뒤 다시 넣고 섞는 조건을 제시했다. 학생은 “매번 빨강이 나올 확률은 3/5이므로 두 번 모두 빨강일 확률은 (3/5)²=9/25”라고 적었다. 교사는 정답만 확인하지 않고, 두 번째 시행에서도 빨간 공과 전체 공의 수가 줄지 않는 이유를 설명해 보라고 했다. 월곡동중등수학과외에서는 학생이 색 이름만 세지 않고, 실제로 같은 가능성이 유지되는 근거를 식과 경우의 수로 남기는지를 함께 확인한다.

다시 넣는 조건에서 분자와 분모가 유지되는 이유

학생은 첫 번째 뽑기에서 빨간 공 3개, 전체 5개이므로 3/5라고 정확히 적었다. 이어서 두 번째도 3/5라고 썼지만, 왜 같은 분수인지 말로 설명하는 단계에서는 잠시 멈췄다. 교사는 “첫 번째로 뽑은 공을 그대로 두었니?”라고 물었다. 학생은 공을 다시 넣는 조건을 확인한 뒤, 두 번째 뽑기 직전에도 빨간 공 3개와 전체 공 5개가 남는다고 표시했다. 따라서 두 시행은 각각 빨강이 나올 확률이 3/5이고, 곱셈으로 (3/5)×(3/5)=9/25가 된다.

교사는 계산을 대신 이어 가지 않고, 학생에게 순서 있는 개별 공을 세어 보게 했다. 빨간 공에 R1, R2, R3, 파란 공에 B1, B2를 붙이면 첫 번째 선택 5가지 뒤에 두 번째 선택도 5가지가 가능하다. 전체 순서쌍은 5×5=25개이고, 두 번 모두 빨강인 순서쌍은 R1·R1부터 R3·R3까지 3×3=9개이다. 학생은 색 조합의 이름만 나열하는 대신, 번호가 붙은 공을 기준으로 세어 9/25를 확인했다.

꺼내고 돌려놓지 않는 대표 문제에서 달라지는 판단

이제 교사는 조건을 바꾸어 빨간 공 3개와 파란 공 2개를 준비하고, 한 개씩 두 번 뽑되 꺼낸 공을 돌려놓지 않는다고 제시했다. 학생의 처음 답안은 “빨빨, 빨파, 파빨, 파파 네 가지이므로 1/4”였다. 교사는 “빨강과 파랑 개수가 달라도 이 네 색 조합의 가능성이 같을까?”라고 짧게 물었다. 학생이 색 조합의 수와 각 조합의 가능성을 같다고 본 것인지, 단순히 네 경우를 적은 것인지 구분하기 위해 질문에 대한 설명과 처음 계산을 나란히 확인했다.

교사는 같은 가능성이 색 이름에 있는 것이 아니라 번호를 붙인 개별 공의 선택에 있다는 점까지만 설명했다. 빨간 공을 R1, R2, R3, 파란 공을 B1, B2로 표시하고, 첫 선택 5가지 뒤에는 이미 꺼낸 공을 제외해 두 번째 선택이 4가지가 된다고 시범을 보였다. 그다음 순서쌍을 세는 일은 학생이 직접 맡았다. 전체 결과는 5×4=20개이고, 빨간 공 두 개가 나오는 결과는 첫 번째 빨강 3가지와 남은 빨강 2가지의 조합인 3×2=6개였다.

학생이 다시 쓴 풀이와 다른 방식의 검산

학생은 가린 풀이 부분에 “첫 번째 빨강의 확률은 3/5이다. 빨간 공 하나를 꺼내면 빨간 공은 2개, 전체 공은 4개이므로 두 번째 빨강의 확률은 2/4이다. 따라서 두 번 모두 빨강일 확률은 (3/5)×(2/4)=6/20=3/10이다”라고 다시 적었다. 처음에는 색 결과 네 가지를 같은 가능성으로 처리했지만, 수정 뒤에는 공의 개수와 꺼낸 뒤 줄어드는 조건을 식에 반영했다.

검산은 같은 곱셈을 반복하지 않도록 개별 공의 순서쌍으로 진행했다. 번호를 붙인 공에서 전체 순서 있는 결과는 20개이며, 빨강 두 개 결과는 6개이므로 6/20=3/10이다. 학생은 이 값을 처음의 1/4와 비교하고, 빨간 공과 파란 공의 개수가 다르며 공을 돌려놓지 않는 조건에서는 네 색 이름을 동일 가능성으로 볼 수 없다고 설명했다.

다음 문제에서는 공을 다시 넣는 조건으로 돌아가 빨간 공 3개와 파란 공 2개에서 두 번 모두 빨강일 확률을 구하게 한다. 학생은 도움 없이 매 시행의 공 개수를 표시하고, 개별 공의 순서쌍을 세어 5×5=25개 중 3×3=9개임을 설명해야 한다. 교사는 정답 9/25뿐 아니라 두 번째 시행의 분자와 분모가 줄지 않는 이유를 말하고, 원래 돌려놓지 않는 문제의 검산 6/20=3/10과 조건에 맞게 구분하는지를 확인한다.