산정동 중등수학과외

산정동중등수학과외 수업에서 학생은 다음 두 줄을 나란히 놓고 답이 조건을 만족하는지 확인하는 장면부터 시작했습니다. 문제는 ∠A=90°인 삼각형 ABC에서 BC=10cm이고, BC의 중점을 O라 할 때 OA, OB, OC를 구하는 것이었습니다. 학생은 곧바로 OA=OB=OC=10cm이라고 적었습니다. 교사는 정답을 바로 고치지 않고 “BC가 반지름일까, 지름일까?”라고 물었습니다. 학생이 말로는 “지름일 수도 있다”고 답하는지, 실제 계산 줄에는 어떤 길이를 사용하는지 함께 확인했습니다.

BC=10cm와 O의 위치를 먼저 대조하기

학생의 답에서 맞게 처리한 부분도 있었습니다. 세 점 A, B, C가 외심 O에서 같은 거리에 있다는 관계를 사용하려고 했고, OA=OB=OC라는 형태 자체는 외접원의 반지름을 나타내는 식으로 적었습니다. 다만 첫 판단은 BC 전체를 반지름으로 사용한 것이었습니다. 이 한 번의 오답만으로 원인을 확정하지 않기 위해 교사는 그림에서 O를 BC 위의 중점으로 표시하게 했습니다. 이어 “O에서 B까지의 길이는 BC 전체와 같니, 그 절반이니?”라고 짧게 물었습니다. 학생이 10cm라고 답한 뒤 실제 선분의 위치를 다시 표시하는지 살폈습니다.

교사는 직각삼각형의 성질을 한 단계만 시범으로 보였습니다. 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로, 이 문제에서 외심 O는 빗변 BC의 중점입니다. 따라서 B에서 O까지의 길이와 O에서 C까지의 길이는 각각 BC의 절반입니다. 교사는 “O가 BC 중점이므로 OB는 얼마지?”라고 묻고, OB=10÷2=5cm라는 줄까지만 함께 적었습니다. OA까지 대신 계산해 주지 않고, 세 꼭짓점이 외접원 위에 있다는 관계를 학생이 이어 말하도록 했습니다.

학생이 직접 고쳐 쓴 외심의 반지름

학생은 처음 적은 10cm를 지우고, “직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이다”라고 풀이의 출발점을 다시 썼습니다. 이어 빗변 길이를 반으로 나누어 OB=OC=10÷2=5cm를 계산했습니다. 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 모두 외접원의 반지름이므로, 학생은 자신의 말로 “OB와 OC가 5cm이니 OA도 5cm”라고 설명한 뒤 OA=OB=OC=5cm라고 답을 완성했습니다. 처음 풀이와 달라진 점은 세 변의 길이를 모두 10cm로 본 것이 아니라, BC 전체는 지름이고 O에서 양 끝점까지의 길이는 그 절반이라는 조건을 식에 반영한 것입니다.

이번 확인에서는 같은 나눗셈을 다시 반복하지 않았습니다. 교사는 선분 BC를 지름으로 하는 원을 그려 O를 중심에 표시하고, B와 C가 원 위에 놓이는지 대조하게 했습니다. OB=OC=BC/2=5cm이고 세 꼭짓점은 O를 중심으로 반지름 5cm인 원 위에 있어야 하므로, OA도 5cm여야 합니다. 학생은 계산 결과뿐 아니라 O에서 B, C까지의 관계를 그림으로 확인했습니다. 이렇게 하면 “10cm를 썼다가 5cm로 바꿨다”는 계산만으로 검산했다고 판단하지 않고, 외심의 위치와 원의 반지름이 서로 맞는지 확인할 수 있습니다.

반지름에서 빗변을 찾는 새 조건

이제 조건의 방향을 바꾼 문제를 제시했습니다. 직각삼각형의 외접원 반지름이 7cm일 때 빗변의 길이를 구하는 문제입니다. 앞 문제에서는 빗변 10cm를 반으로 나누어 반지름을 구했지만, 이번에는 반지름에서 빗변을 찾아야 합니다. 유지되는 원리는 직각삼각형에서 외심이 빗변의 중점이라는 점입니다. 달라진 판단 요소는 반지름이 빗변의 절반이므로 빗변 전체를 역으로 계산해야 한다는 것입니다.

학생은 외접원 반지름 7cm를 중심에서 빗변의 한 끝점까지의 길이로 표시했습니다. 빗변의 중점에서 양 끝까지 거리가 각각 7cm이므로 7+7=14cm라고 계산하고, 빗변의 길이를 14cm라고 답했습니다. 다음 수업에서는 대표 문제와 조건만 남기고 기존 오답과 수정 풀이, 정답은 가린 뒤 같은 유형을 다시 제시합니다. 학생이 도움 없이 빗변 길이를 반으로 나누어 외접원 반지름을 구하고, “O가 BC 중점이므로 OB=5cm이며 OA도 같다”는 이유까지 말하는지 확인합니다. 막히면 이 문장까지만 다시 보여 주고, 다음 계산과 원 위의 세 점 확인은 학생이 직접 적게 합니다.