하남지구 중등수학과외

“왜 줄기에 10을 곱해야 할까?”

학생에게 먼저 “1｜2가 12라는 뜻이라면, 1과 2를 그냥 더하면 될까?”라고 물었다. 학생은 줄기와 잎을 각각 하나의 수로 보고, 줄기 1의 잎 2, 5, 5와 줄기 2의 잎 0, 3을 이용해 자료를 3, 6, 6, 2, 5라고 적었다. 하남지구중등수학과외 수업에서는 이 답을 바로 틀렸다고 표시하지 않고, 예시의 1｜2를 학생이 어떤 자리값으로 읽었는지 먼저 확인했다. “1은 어떤 자리의 숫자이고, 2는 어떤 자리의 숫자일까?”라는 짧은 질문에 학생이 말한 설명과 계산 줄을 함께 살펴보며, 한 번의 오답만으로 원인을 단정하지 않도록 했다.

학생은 1과 2를 더해 3을 만든 것이라고 설명했다. 이 말에서 줄기와 잎을 덧셈으로 읽은 판단이 실제 풀이에 반영되었음을 확인할 수 있었다. 교사는 풀이 전체를 대신 고치지 않고 종이에 1｜2=12를 다시 적은 뒤, “줄기 1은 일의 자리일까, 십의 자리일까?”라고 물었다. 학생이 십의 자리라는 점을 확인한 다음에야 다음 설명을 덧붙였다. 줄기는 십의 자리, 잎은 일의 자리다. 이제 줄기 10배에 잎을 더해 원래 값을 만드는 과정은 학생이 직접 이어 가도록 했다.

줄기 1과 2에서 원자료 복원하기

대표 문제의 조건은 줄기 1의 잎이 2, 5, 5이고 줄기 2의 잎이 0, 3이라는 것이다. 범례에서 1｜2가 12를 뜻하므로 줄기 1의 자료는 줄기 1에 10을 곱한 뒤 잎을 더한다. 따라서 1×10+2=12, 1×10+5=15, 1×10+5=15가 된다. 줄기 2에서는 2×10+0=20, 2×10+3=23이다.

학생은 교사가 처음 적어 준 수정의 출발점인 12, 15, 15, 20, 23을 그대로 베끼지 않고, 각 잎을 하나씩 대응시키며 식을 완성했다. 수정된 풀이는 “자료는 12, 15, 15, 20, 23이다. 자료의 개수는 5, 최솟값은 12, 최댓값은 23이다.”가 되었다. 처음 풀이에서는 줄기와 잎을 더해 한 자리 수처럼 만들었지만, 수정 풀이에서는 줄기를 십의 자리로 해석하고 10배한 값에 잎을 더했다는 차이가 분명하다.

같은 계산을 반복하지 않는 검산

정답을 확인할 때 학생에게 같은 식을 다시 계산하게 하지는 않았다. 먼저 자료의 개수 5가 잎의 개수 2, 3을 합한 값과 일치하는지 확인하게 했다. 이어서 다섯 자료를 줄기 1과 2에 다시 배치했다. 12, 15, 15는 줄기 1에, 20, 23은 줄기 2에 들어가므로 처음 제시된 줄기와 잎의 모양이 복원된다. 이 대응 관계가 맞으므로 최솟값 12와 최댓값 23도 자료의 배열에서 다시 확인된다. 학생은 “각 잎이 자료 한 개를 나타내고, 줄기가 달라지면 십의 자리가 달라진다”고 말하며 검산 근거를 설명했다.

자리값 범례가 바뀐 새 문제

마지막에는 같은 원리를 다른 범례에 적용했다. 새 문제에서 줄기 1의 잎은 0, 5, 5이고 줄기 2의 잎은 0이다. 이번에는 1｜5가 1.5를 뜻하므로 줄기는 일의 자리, 잎은 소수 첫째 자리다. 따라서 자료는 1.0, 1.5, 1.5, 2.0이고, 네 자료의 중앙값은 가운데 두 값의 평균인 (1.5+1.5)÷2=1.5이다. 대표 문제와 달라진 것은 줄기와 잎의 자리값 범례이며, 유지되는 원리는 범례에 따라 각 줄기와 잎을 하나의 자료로 복원한다는 점이다. 다음 문제에서는 대표 조건만 남기고 기존 풀이와 답을 가린 뒤, 학생이 줄기 10배에 잎을 더하는 이유를 도움 없이 말하고 식을 직접 쓰는지 확인한다. 필요할 때는 “줄기는 십의 자리, 잎은 일의 자리다”까지만 다시 제시하며, 각 잎의 대응과 원자료 복원 여부를 근거로 판단한다.